V'(A — B)(B — C) — ABC II
Posons (A — B) (B — C) = ABC«*; on voit que u ne peut dépasser a, mais qu'il peut aller jusqu'à zéro; supposons 9=0 pour u = a, rintégrale est
La courbe est une spirale qui tourne indéfiniment autour du point T : quand le pôle I s'approche de ce point, la vitesse de rotation est sensiblement constante^ mais, comme le cône S, réduit ici à un plan, doit rouler sur Si, lequel se replie suivant une infinité de spires, I n'arrivera en T qu'après un temps infini.
Monrement quelconque d'un solide.
191 . On chercli^ d'abord le mouvement du centre de gravité, puis le mouvement relatif à des axes de direction constante dont l'origine coïncide avec ce centre ^ ce mouvement s'obtiendra en traitant le centre comme un point fixe, et en ne tenant compte que des forces extérieures, parce que les forces apparentes disparaissent. Veut-on, par exemple, connaître le mouvement d'un solide pesant, abandonné dans l'espace, et dont les molécules soient attirées vers un centre fixe proportionnellement à la distance (Licence, 1867), les attractions et la pesanteur ont une résultante unique appliquée au centre de gravité^ rien de plus facile que de reconnaître que ce centre décrit alors une ellipse; quant au solide, il tourne iiutour de son centre
SUR L4 MÉCABIQUE RATlOlfIfELLE. 4oS
de gravité comme autour d'un point fixe et sans forces extérieures ] ce mouvement relatif s'effectue donc suivant les règles de Poinsot.
192. Mouvement (Vun cylindre pesant homogène, abandonné sans "vitesse initiale sur un plan incliné dépoli, de manière que ses génératrices restent toujours horizontales; on tient compte de la résistance au roulement.
On peut réduire le cylindre à sa section médiane par rapport à laquelle tout est symétrique *, les réactions du plan pourront être remplacées par une force dont la composante normale est N, et la composante tangentielle H, dirigée dans le sens montant. La résistance au roulement se traduit par ce fait que la réaction N s'exerce à une petite distance 8 en avant du point de contact géométrique, et qu'elle a, par rapport à l'axe du cylindre, un moment — Nî, en vertu duquel elle tend à diminuer la vitesse de rotation. Soient i l'angle du plan avec l'horizon, m la masse du cylindre, a son rayon, y*= tang(p le coeflQcienf de frottement, x la longueur parcourue parallèlement au plan par le centre de gravité, 6 l'angle dont le cylindre a tourné autour de son axe, cette rotation constituant le mouvement relatif^ on a l'équation du mouvement du centre de gravité et celle du mouvement autour de l'axe :
wi -~ =m"'sm/— H, -ma'— -=Ha — N^.
di' ** 2 ift^
D'ailleurs, N est égal à mgcosiy puisque le centre de gravité ne se déplace pas dans le sens de la normale au plan. Pour qu'il y ait roulement, il faut à la fois
(i) m^sini>H, aH>N^}>^/7ig'cosi,
Comme la limite extrême de H eslfmgcosi^ pour que la
4o4 RKCUBIL D'BXBUCICEê
seconde inégalité ait lieu, il fanif^ -9 ce qui est le cas
ordinaire dans la nature. Mais, quand f<^ -t il ne peut
naitre de mouvement de rotation; si alors tasïgi<if^ le centre de gravité restera lui-même en repos ; si tangi ^/, on a un glissement simple
d^jc I
-~ =^(sîn/ — /cos/), ar= -g{smi — /cos/)r*, 0 = o.
Soit maintenant y >> -» pour que les deux inégalités {i}
puissent être satisfaites, il faut tangi]>-; sinon il j a
encore arrêt; au contraire, si cette inégalité est vérifiée, il peut y avoir roulement simple ou roulement compliqué de glissement. Pour qu'il y ait roulement simple, il faut qu'on ait
dx dB d^j: d^B ^
Tt'^^Jt^ dF'~'^dii' on peut alors déduire des équations du mouvement
di
- = - l^sin/ ^cosi j> Hzrz'-mg ( sin/ -h 21 -ces/ j
Mais H doit être <CS"^S ^^^h '^ f^^^ donc
tangi<3/— a-;
si cela a lieu, le centre du cylindre prend un mouvement uniformément accéléré, Taccélération étant réduite à peu près dans le rapport de a à 3, parce qu'une partie de la pesanteur sert a accélérer le mouvement de rotation.
Quand tangi sera supérieur à 3/* — a -9 H sera égal a sa
sua LÀ MÉCASIQUB aàTIOlIlfBLLB. ifoS
limiefingcosi^ et l'on aura roulement avec glissement^
il est remarquable que le mouvement du centre de gravité soit indépendant de à dès qu'il y a glissement.
193. Déterminer le mouuement d'une sphère homo" gène, posée sur un plan horizontal, assez rugueux pour empêcher tout glissement; les molécules de la sphère sont attirées "vers un point O du plan a^ec une force propor^ tionnelle à la distance; on néglige la résistance au roulement. (Licence, 1874.)
Je prends le point O pour origine, le plan donné pour plan des xy^ une verticale pour axe des z\ soient x^y^ a les coordonnées du centre S de la sphère, m sa masse*, les attractions de O sur les divers points de la sphère ont une résultante appliquée en S, et dont les projections sur les axes sont — fi"mx, — /**/«/, — [i^ma. Au point de contact C de la sphère et du plan, la sphère éprouve une réaction dont les composantes sont X, Y^Z^ on a, pour le mouvement du centime de gravité,
tit^
— iwp'ar
-hx,
dt^
— m^^jr
mg-hm
pi'fl —
Pour étudier le mouvement autour de S, on pourra mener par ce point des axes Sxi, Sj^i,S2i parallèles aux axes fixes, sans être obligé de prendre des axes liés au corps mobile ; cela tient à ce que toute droite passant au centre d'une sphère est axe principal, et le moment d^inertie correspondant invariable. Soient ;;, f , r les composantes de- la
4o6 USGUBIL D^BXERCICES
rotation autour de Sxt ... ; X, Y sont les seules forces dont le moment ne soit pas nul, et le théorème sur les moments des quantités de mouvement donne trois nouvelles équations :
^ ' 5 dt 5 dt ^ dt
Il faut encore deux équations pour pouvoir déterminer nos inconnues x, j^, X, Y, Z, p^q^r\ on les obtient en écrivant que la vitesse du point C est nulle; ses projections sur OX et OY sont les sommes des projections de la vitesse d'entraînement et de la vitesse relative par rapport au système Sjti^i z^ ;
dx r/j
(3) -^aq:=o, ^^^ap = o.
Ces équations permettent de remplacer les deux premières du système (2) par les suivantes :
éliminant X et Y entre ces équations et les deux premières du groupe ( i )
Ce système connu montre que le point S, ainsi que le point C, décrit une ellipse dont le centre est sur OZj comptons le temps à partir du passage à l'un des sommets, et supposons qu alors j^ soit nul, a: = c, v^ = A, les intégrales du mouvement seront
XZ=zC
cosj^fy^^, r = ^y/|sin^fy/^
Sun Là VtCAXnqVli KATlMIlfELLE* 407
Les équations (3) donnent
quant à r c*est une constante. Il résulte de ces formules que si Ton mène par l'origine une droite qui, à chaque instant, représente en grandeur et en direction l'axe de la rotation instantanée, le lieu des extrémités de cette droite sera une ellipse horizontale.
Les équations (4) et (5) nous donnent les composantes horizontales de la réaction du plan
La résultante de ces deux forces est dirigée suivant OC et
égale à -u'toOC; pour que le mourement ait lieu sans
glissement, comme on Ta supposé, il faut qu'elle soit inférieure à Z multiplié par le coefficient de frottement
Si l'inégalité n'est pas toujours vérifiée, il y a glissement, et le problème est plus compliqué.
194. Mouvfement d'une sphère homogène, posée sur un plan horizontal dépoli, qui tourne uniformément autour d'une, "verticale . { Waltow . )
Prenons pour axe des z l'axe de rotation, et pour axes des X et des j- deux droites rectangulaires, fixes dans l'espace, et passant par le point où OZ perce le plan. Le problème est analogue au précédent, si ce n'est que fx est nul, et que la vitesse de C, au lieu d'être nulle, est égale à celle du point du- plan qni coïncide avec lui. Le système (S) sera
4o8 RECUEIL D^EXBECICBS
remplacé par le suivant :
d.T. dy
Le système (5), donné par Télimination de p^ 9, X,Y, devient
d^a: dy d*y dr.
dO dt ' dt^ dt
Intégrant,
7 ^^ ■+■ 2*»r = 7^'. 4- 2«jo 7 ^ "" '^^^ ^ '■^'« "" *••'"
Posons jr j, 2 îi!=j.,^ j:j:^4.2^=j.^^ cequi
revient à transporter l'origine en un point connu A, on aura
L'intégration de ces équations ou leur interprétation géométrique prouve que C tourne autour du point fixe  avec
une vitesse angulaire - f#>; la trajectoire apparente de C sur
le plan sera épicycloidale *, X et Y ont une résultante constamment dirigée vers A et de grandeur invariable.
Forces instantanées.
195. On nom me ybrctf^ instantanées ou percussions des forces énergiques qui agissent pendant un temps très-court. Leur efliet sur uu système matériel se calcule comme celui des forces ordinaires, sauf quelques simplifications; on peut négliger, pendant la durée de la percussion, le déplacement des points du système et l'action des autres. forces dont l'intensité est finie. Considérons une grande force F agissant, pendant un temps très-court 6, sur un solide^ le centre de
SUR Là XÉCAJflQUB KATIOVHELLE. 4o9
gravité O prendra une vitesse parallèle k F,
Fdi.
Cette intégrale est la mesure de la percussion P. Pour connaître le mouyement autour du centre de gravité, rappelons-nous {voir n? 187) qu'un couple G, agissant pendant un temps dt^ donne une rotati un autour du diamètre 01 de rdlipsoïde central conjugué du plan du couple. Cette rotation est égale à l'impulsion du couple multipliée par le cosinus de l'angle de son axe avec 01 et divisée par le moment d'inertie autour de OI.
Cela posé, soit RS {/ig» ^4) 1^ force instantanée^ on
peut choisir son point d'application S de manière que l'angle OSR soit droit ^ le plan du couple G sera ORS, sa grandeur FxOS, et ces éléments seront regardés comme constants pendant le choc. Si donc le diamètre 01 conjugué de ORS fait l'angle 0 avec la normale è ce plan et si MK' est le moment d'inertie relatif k OI, le couple communique au solide une rotation autour de OI
F X os C089 A = ^-^jîi^i
Cette rotation te compose avec la translation v pour don»
4lO mSCtDBIL D*BZBKCICES
ner un mouvement hélicoïdal. Pour que le mouvement résultant soit une simple rotation, il faut que RS soit perpendiculaire à OI et, par suite, au plan lOS. Menons ST perpendiculaire à 01, on aura
ST=:OScose=:a,
et, si Ton prend HT = — » la rotation résultante se fera
autour de Taxe HK parallèle à 01. Je dis que cette droite est axe principal d'inertie par rapport à H. En effet, menons en O trois axes rectangulaires, OX parallèle à ST, OY à SR, et 01 5 Féquation de l'ellipsoïde central en O sera de la forme
Ax*-f-Bj*H- Cz*— 2Djs — 2Esx— aFxj-rm.
Comme le plan conjugué de OZ ou 01 passe par OY, il faut que D == £ myz soit nul \ quant à C, il est égal à MK*. Les équations de OS sont
^ = 0, Cz — Ear = o;
les coordonnées de S sont donc a, o, -^^ celles de H, = — --, o, -;^ • Menons au point H trois axes OX',
a Ma C *
OY^, OZ' parallèles aux premiers -, nous aurons, en nous rappelant les propriétés du centre de gravité,
Jmj^'z' z^'^my \z - ^ j =^rnxz - ^ J/nj = o,
Si l'axe HK était fixe, il n'éprouverait pas de percussiou, ce qu'on peut vérifier par l'expression générale de la charge supportée par un axe fixe.
SUR hk UÈCkVtqVE RâTIOlVUELLE. 4ll
Considérons un cube complètement libre et cberchons où il faudrait lui appliquer une percussion pour le faire tourner autour d'une de ses arêtes AB. L'ellipsoïde central, relatif au centre de gravité O, se réduit à une sphère^ le plan conjugué de la direction AB lui est perpendiculaire et passe en son milieu C-, aa étant Tune des arêtes, le moment
d'inertie autour de OI, parallèle à AB, est xMa'-, il faut
que la percussion soit perpendiculaire au plan ABO, et
qu'elle rencontre CO en un point S tel, que OS =30^^
la vitesse de rotation sera
■ ■ ■ ■- — Il » I
196. Une barre homogène OA, de niasse /n, de lon^ gueur a a, peut tourner sur un plan horizontal autour de son extrémité 0\ à l'autre extrémité est articulée une batre égale AB, qui se meut aussi sans frottement sur le plan horizontal. On suppose les deux barres primitivement en ligne droite, et l'on applique une percussion P perpendiculaire en un point S de AB^ déterminer le mou-i^ment initial des deux beurres et les réactions en O et A qui se produisent au moment du choc.
Soient OX la droite qui coïncide d'abord avec OAB, s la distance AS, a, j3 les vitesses angulaires de OA et de AB après le choc; le moment de la percussion par rapport à O est égal à la somme des moments des quantités de mouvement des deux barres. Pour calculer la partie de cette somme relative à AB, je remarque que son centre de gravité a pour vitesse naa -k a(3; le moment de la quantité de mouvement, en y supposant la masse concentrée, est 3nui(aaa + a^); il faut y ajouter la somme correspondant au mouvement relatif autour de ce centre, 7 ma' |3.
4i9 mscvBU. d'bsz&cicbs
(l) ^ma*a H- 3/7ta>(2a + P) H- ^ ««'P = P(aa -t- s).
La somïue des moments des quantités de mouvement de AB par rapport à A est égale au moment de la percussion?, car la réaction de OA en A a un moment nul^
Les équations (i) et (2) donnent les vitesses angulaires initiales
Rien de plus facile que de discuter ces formules. Par exemple, pour que a et ^ soient égaux ou que les barres
restent d'abord en ligne droite, il faut 5 = — a. La percussion Q, que AB reçoit en A par suite de sa liaison avec OA, s'obtient en exprimant la vitesse du centre de gravité deAB
