X P-»-Q ^ 3* — 4«« SI
(2a H- |i)« = -> Q= Z p=: ';rnuia.
La percussion R, que reçoit O, se tire de la vitesse du centre de gravité de OA
aaL=z (Q-+- R), R = — ~/7ïaa = -Q.
Pour avoir le mouvement ultérieur du système, on exprioie que la force vive et la somme des moments des quantités de mouvement par rapport à O restent constantes; 6 étant l'angle AOX, vp l'angle de AB avec OA prolongé, on
StJft LA MtCABIQITB mATIOIlKBLLS. 4^3^
trouve, après de simples transformations,
dO i6 — 9 ces' 4»
dH ng-f-Sp — (a-4-3co8>|i)4>\ dt 2(5 -H Scos^») '
j- s'annule pour des valeurs ^i, — <pi, comprises entre
et -; ^ doit osciller entre ces valeurs; quant à 0, il peut ou
oscOIer ou croître indéGniment ; on discute aisément dB en remarquant que (!k -h i cos^) f^' est maximum en valeur absolue pour ({^ =s o.
197. Une barre très^mince se meut sur un plan horizontal parfaitement poli; le centre instantané de rotation coïncide avec l'un de ses points. A, lorsqu'elle rencontre un obstacle fixe M; déterminer la grandeur de la percussion et le mouifement ultérieur de la barre.
(Agrégation, 187 a.)
Soient i', \f' les vitesses du centre de gravité O avant et après le choc; u, tù' les vitesses de rotation correspondantes; mK* le moment d'inertie autour de O; a, x les longueurs OA, OM. On suppose A k gauche de O et M à droite quand x est positif; v^ est perpendiculaire à la barre et égal k atù. Après le choc, en supposant la barre dé* poorvue d'élasticité, M reste momentanément en repos et est centre instantané de rotation; s^' est perpendiculaire sur AO et u'=i — tù'x. Le moment de la quantité de mouvement par rapport à M est constant :
4t4 miSCVEIL D^EXSRCICBS
d'où
Soit B le point conjugué de A, à droite de O, et tel que OA X OB = K" ^ quand M est à droite de B, w' est de sens contraire à a>, v' de même signe que ^-, quand M est entre O et B, (ù' est de même signe que co, çf' de signe contraire à 1^; il y a une sorte de réflexion. En discutant la valeur de i^', on trouve qu'elle est maxiihum ou minimum, égale
à (rt dz y^a"-l-K*) — pour jr = — azç. y^a'-t-K*. La gran-
deur de la percussion reçue par Tobstacie est mesurée par la variation de la quantité de mouvement de la barre projetée sur une perpendiculaire
« / f\ K}mv(x -^a]
Elle atteint un maximum - mw {a -f- ^a* 4- K*) pour
Si Ton avait supposé la barre parfaitement élastique, il aurait fallu adjoindre à l'équation (i) la condition que la force vive reste constante :
et l'on aurait pu calculer u' et o)', qui, dans les deux cas, ne varient plus.
198. Etant donné un système en équilibre grdce à certaines liaisons, on suppose ifue quelques-unes de ces liai' sons viennent à être détruites, et l'on propose de calculer les réactions qui représentent les liaisons restantes aussitôt après la rupture de l'équilibre.
Ces questions se rattachent aux forces instantanées.
SUE Là mACAHK^UB BJlTIOSHELLB. ^iS
M. W. Besant en a trahé plusieurs dans le' tome IV du Journal de Cambridge; il prend les équatiobs du mouve<ment du système aussitôt après la rupture des liaisons, en y négligeant les termes de Tordre du carré des vitesses; ainsi, pour le mouvement dans un plan, on réduit les composantes de l'accélération suivant le rayon vecteur et sa
normale à -7-- et à r -r— : on traite comme nulle. Taccéléra-
lion centripète, etc.
Considérons une planche elliptique dont le plan est vertical et dont les foyers, situés à la même hauteur, sont soutenus par deux chevilles; on en retire une, et Ton demande la pression P supportée par l'autre immédiatement après. Soit o) la vitesse angulaire du disque après un temps très -court; l'accélération du centre peut être regardée comme simplement tangentielle et dirigée vers le bas
dv d^ •
m -7- = mae —r = me — P.
dt dt *
Prenons le moment de la quantité de mouvement autour da point fixe
mgae = [a^é^ -f- K*] m— =1 ma^ -. — -7- ;
éliminons -7-9 et nous aurons dt
Elle est inférieure ou supérieure à la charge d'équilibre - mg^ selon que ©* < ^ •
Soit encore un fil dont les extrémités A et D sont fixes, et qui porte deux masses m, m' attachées en B et C, de manière que BC soit horizontal; on coupe la partie CD^ et
*4l6 tECCEIL D*EXEmCICBS
l'on demande les tensions initiales T, T' des cordons ÂB et BC. Le point B décrit un arc de cercle normal à AB; on peut regarder d'abord son accélération suivant AB comme nulle, et l'accélération totale y comme perpendiculaire à ce rayon. Si donc 0 est Tangle de AB avec la verticale, on a
T — T'sinO — iwgrcosO = o, /117 = m^sinO — T'cosO.
L'accélération relative de C par rapport à B est tout entière perpendiculaire à CB; son accélération totale, qui est la résultante de la précédente et de l'accélération de B, aura ycosO pour projection sur CB; T'=m'ycos9. On tire de cette relation et des deux premières
m(m -h m')/f cosO ^ m/n'/o' sin • cos 9 ^
m-i- m' cos'd m -{-m' cos'9 '
la vitesse initiale de C sera dirigée suivant la résultante de T' et de m' g.
Moment d'inertie d'un secteur spliérique à une base autour d'une droite passant au centre de la sphère et perpendiculaire à l'axe du solide, p étant le demi-angle au centre, la densité étant 1.
1= -^ R*(4 — 3 cosp — cos*p). (Waltok.)
Un pendule a la forme d'une lentille biconvexe» soutenue par une tige droite dont la masse est négligeable ; déterminer le poÎDl de la tige où il faudrait placer le centre d'une sphère donnée pour accélérer le plus possible les oscillations du pendule composé.
Une tige rigide, très-mince et homogène, est suspendue en l'un de ses points autour duquel elle peut osciller librement, comme un pendule conique; appliquer les formules du mouvement d'un solide autour d'un point fixe à l'étude de son mouvement.
Une chaîne mince et homogène est partiellement enroulée sur
SUR LA MÉGAlîIQUE RATIOITliELLE. 4^7
k gorge d'une poulie mobile autour d'un axe horizontal dont le rayon est donné; le bout libre de la chaîne est vertical et se termine par un poids; déterminer le mouvement du système quand on permet à la poulie de tourner et à la chaîne de se dérouler; on néglige la roideur de la chaîne, mais on tient compte de son poids et du frottement de Taxe de la poulie sur les tourillons.
Mouvement d'une sphère pesante abandonnée sans vitesse initiale à l'intérieur d'une sphère creuse dans laquelle elle ne peut que rouler sans glisser.
Un cylindre est posé sur un plan horizontal dépoli ; quel sera le mouvement du cylindre si Ton vient h faire tourner le plan avec une vitesse uniforme autour de l'horizontale qui coïncidait primitivement avec l'arête de contact du cylindre ? Époque où le corps se détache du plan. On décomposera l'action du plan sur le cylindre en deux parties, l'une normale au plan, l'autre suivant ce plan, et l'on écrira que le point du cylindre qui est sur le plan a une vitesse relative nulle. Le cylindre se détache quand la réaction normale du plan est nuUe, à une époque donnée par l'équation
9cos«>r— 2 (c"' 4- <?-• •') = 5 — • ( W. Waltok.)
Mouvement général d'une sphère sur un plan horizontal dépoli, en obligeant la résbtance au roulement. ( Gomous.)
Dt S.-G. — Rec, 27
4l8 RECUEIL d'exercices
