Centre de gravité d* un arc de ooi^dioîde
r=a(i -hcosO)* On a
ds=id9 y^2a'(i-f- cosô) = 2a cos - 9c/ô, 5 = 4fl ( sin - 9 — sin — 0. ) ,
r cos ô cff
.C( 0 3 30 I 5G\^^ tf • I la cos — i- - cos 1 — cos — dO
Jq,\ 2 2 2 2 2 /
a* 1 4 sin 4 sîn — 4-
.30 .30. I . 59 I . 5» sm sin h •= sin sin —
\jrds =z I rsinBds = 8û* 1 cos* - sin ~ = -^ a^ I cos* — — cos* - }•
Il est aisé d'en tirer Xi et yi ; pour la moitié de la courbe, de fi = o à 6 = ir, on a
28. Centre de gra\fité d'un arc d'hélice ordinaire commençant sur le plan des xy^ et oii la densité est représentée par e"".
Soient a le rayon du cylindre sur lequel est l'hélice, 27rA le pas^ on a, pour chaque point de la courbe,
4r=iacos-7> r = asin-7* h -^ h
La masse de l'arc considéré est
= I — I €-^*dz = y^a" 4- A» 5
h J^ ck
S17R LA. KÉCAXIQUB RATIOKIfELLE. Zg
I xdm=z -T V«' 4- A* 1 e-^CfM-rdz
I zdm = ^!^ — ^- — f z#r*«^z = ^--— — i — (i 4- c»)d^« |.
On aura immédiatement x^^ y^^ z^. Si Tare est prolongé indéfiniment, les résultats se simplifient et deviennent
Sla^-k-h^ ac^h} ach i
ch I -+- c' A' I -f- c' A* c
29. Déterminer une courbe plane passant par l'origine, et telle que la densité soit une fonction donnée f [s) de l'arc, et que l'ordonnée du centre de gra\dté d'un arc, compté à partir de l'origine, soit une autre fonction donnée tf [s). Cas oii f[s) =0^", ff[s) = «5**.
(Agrégation, '^7^*)
Ou voit immédiatement que la dourbe satisfait à Téqoation
^[s)rf[s)ds=ryf{s)ds, Bifférentions;
y est dès lors une fonction connue de 5 donc
b) iir=:^Vï— +"(*)•
4o HEGOEIL d'exercices
Si Ton peut intégrer, il n'y aura plus qu'à éliminer 5 à l'aide de l'équation (i) pour avoir l'équation finie de la courbe. Quelquefois on peut résoudre l'équation (1) par rapport à s^
et îl suffit d'intégrer
(3) dr = dj^^u'^{jr)-l.
Dans le cas particulier proposé, l'équation (i) devient
m -+- tt -4- T c
Y z= ^ . as^ = - s^.
en prenant, pour abréger, la nouvelle constante c. L'équation (2) donne alors
Cette différentielle binôme pourra s'intégrer quand
ou i — seront des nombres entiers ; ces deux con-
2fji — a 2 ^
ditions reviennent à dire que jx doit être de la forme — • — »
n étant entier. Le second procédé ne donne pas d'autre cas d'intégrabilité.
Soit /i = i«, alors |ui = 2, j == - ^*. Nous appliquerons
l'équation (3)
rfx -• /■-^'•r
2 4:7 C'est une cycloïde ayant son sommet à l'origine et touchant
l'axe des x 5 le rayon du cercle générateur est — •
Soit 72 = 2 , /x = - 5 nos formules deviennent
^ =z -xCS^i dxzizds ^i — €*$,
SUR LA XÉCAJfIQUB ftATIOUlTELLE. 4'
Intégrant,
C'est l'hypocjcloïde à trois rebroussements , enveloppe d'une ^oite de longueur x-^ qui glisse sur l'axe des x et la
droite x = 5-; •
• Pour /i = oo,fx = i, on a une droite.
On ne peut donner à tz de valeurs négatives, car \i serait
dr , .
I, et ~- infini pour ^ = o, ce qui est impossible.
Centre de gravité des surfaces.
30. Centre de gj'ai/ité de l'aire comprise entre un arc d'ellipse, le diamètre qui aboutit à une extrémité de Varc et la corde conjuguée passant par l'autre extrémité.
En prenant pour axe des x le diamètre donné, pour axe des j la tangente à son extrémité, l'équation de l'ellipse est de la forme
On décompose Taire donnée en une infinité de bandes élémentaires parallèles à Taxe des j^ ; la masse de chacune peut être représentée par^rfx, et son centre de gravité a pour
coordonnées a: et -^. L'aire considérée est, 6 désignant Tangle des axes,
ftsinôr û — A , — -*|
= I a* arc cos (« — A ) y 2^/1 — /i^ •
4^ RECVSIL d'exBEGICEA
Si Xi, y^ sont les coordonnées du centre de gravité,
Je . I h^ b^ xsmBdx i/ 2 — X o \ a a^
= I a* arc cos ^ (^ah — nn
aa L a 6^
— a(a — h) ^lah — h^ j, Ar, = / -(2 — ar -orM sinfi«2r = 7- ( «A* — -5- ) •
On en déduit pour ^15^1 des valeurs assez compliquées, mais qui s'adaptent, en se simplifiant, à plusieurs cas particuliers ; ainsi, pour le quart d'ellipsCi on fera h =• a, et l'on
aura
itab ^a ^b
4 itr OIT
Si l'on veut passer au cas de la parabole, on fera b^ = ap^ on développera suivant les puissances négatives de a, qu'on
fera ensuite infini ^ mais il est bon de remplacer arc cos
par 2 arc sm i / — -, on a
A=ismôy'^[^2a»arcsiny/A(«-^)^2^^,__j J
et ainsi pour les autres \ à la limite, en faisant \]^ph = ^^
