LIVRE I. — CHAPITRE I

Ces n* quantités sont appelées les éléments du déterminanu Nous désignerons ce déterminant par A.

2. Inversion des indices. — Vinversion entre deux indices se comprend d'elle-même. Pour plus de clarté^ nous dirons que deux indices présentent une inversion^ toute» les fois qu'ils ne se suivent pas dans leur ordre numérique, c'est-àdire chaque fois que le premier indice est supérieur au suivant. Ainsi la permutation

ai bj Ci di

n*a pas d'inversion. La permutation

04 6i Cl dt

présente au contraire cinq inversions : une entre a« et chacun des trois éléments suivants 6„ Ci, d^ ce qui fait trois inversions; et une inversion entre (3 et chacun des deux éléments suivants Ci et dt, ce qui fait encore deux inversions; donc en tout cinq inversions.

3. Permutations paires et permutations impaires. — Une permutation est dite paire ou impaire^ suivant qu'elle présente un nombre pair ou un nombre impair d'inversions entre les indices.

Deux permutations sont dites de même parité, lorsqu'elles sont toutes les deux paires ou toutes les deux impaires; si l'une est paire et l'autre impaire, elles sont dites de parités différentes,

4. Théorème fondamental sur les inversions. — Lorsque l'on permute entre eux deux indices dans une permutation^ la permutation change de parité, en d'autres termes, on altère d'un nombre impair le nombre des inversions entre les indices.

Nous distinguerons deux cas, suivant que les indices intervertis appartiennent à deux éléments consécutifs ou à deu\ éléments quelconques de la permutation.

I*» Considérons la permutation P = Atfa/pB, où A désigne le produit des éléments a, 6, ,.,, d qui précèdent l'élément e, et B le produit des éléments g,h,.,,,l qui suivent Télé-

PROPRIÉTÉS GÉHÊRALES BBS DÉTERMllfÂNTS. 3

meni/; les éléments a, b, ,.., d sont affectés d'indices quelconqueSy mais différents de a et ^y ainsi que les éléments

Si Ton intervertit les indices a et ^y nous aurons la permulativi P'= Aep/.B; or je dis que les permutations P et F sont de parités différentes.

£n effet, il est aisé de voir que les éléments de A, comparés entre eux et avec les suivants, présentent le même nombre d'inversions dans P et P'; et que les éléments de B, comparés entre eux et avec les précédents, présentent aussi un même nombre d'inversions dans P et P'. Mais l'un seul des deux produits e^fp et e^f^ présente une inversion; par suite, l'une des deux permutations P et P' présente une inversion de plus que l'autre; donc ces deux inversions sont de parités différentes.

Nous en concluons que, si dans une permutation on fait avancer ou reculer un indice d'un rang, la permutation change de parité.

2? Supposons actuellement que, dans la permutation P, on intervertisse les indices des deux éléments e et e', de rang r et r'y qui sont séparés par m éléments.

On amènera l'indice de l'élément e au rang r', en le faisant reculer de m + 1 rangs, ce qui produira m ■+• i changements de parité; puis on amènera l'indice de l'élément e' au rang r, en le faisant avancer de m rangs, ce qui produira encore m changements de parité. Par suite, la permutation P aura subi en tout un nombre m + 1 + m ou un nombre impair 2/R + 1 de changements de parité; donc la permutation résultante sera d'une parité contraire à celle de la permutation P.

5. Composition du déterminant A par rapport à la position des n^ éléments dans le tableau carré (i) de ces éléments. — Il n'est pas difficile de reconnaître que chaque terme du déterminant A contient un élément et un seul de chaque colonne dans le tableau carré (i) des n^ éléments; car chaque permutation, formée au . moyen du terme-^type a^btc^...iml>^^ l'inversion des indices, renferme chacune des n lettres a, 6, c*, ..., /et ne la renferme qu'une fols.

4 LIYRB I. — CHAPITRE I.

Chaque terme de A contient aussi un élément et un seul de chaque ligne horizontale du tableau carré (i) desn' éléments; car chaque terme, formé au moyen du même termetype par l'inversion des indices, renferme, comme indice, chacun des n premiers nombres entiers i, 2» 3, ..., /i et ne le renferme qu'une fois.

Réciproquement^ tout produit de n facteurs, qui ue contient qu'un élément de chacune des n lignes horizontales du tableau (i) et aussi qu'un élément de chacune des n colonnes verticales de ce tableau, pourra être considéré comme un terme du déterminant A, s'il est affecté du signe + ou do signe —, suivant que le nombre des inversions entre les indices y est pair ou impair : car ce produit est nécessairement l'un de ceux obtenus par la permutation, de toutes les manières possibles, des indices dans le produit axb^c^ ... /,.

On en conclut que le déterminant peut aussi recevoir la définition suivante, qui nous paraît la plus élémentaire.

6. Définition ordinaire des déterminants. — Éunt données n' quantités

^H 0\f Ctf ...y f|,

Û2, Oj, Cl, ..., Ij, ^.»» va, Cj, ..., fa,

Onj *^nf ^ny • • • » 'm

représentées par des lettres munies d'indices, qui sont disposées en un carré de n colonnes verticales distinguées par les lettres et de n lignes horizontales marquées par les indices, le déterminant de ces n* quantités ou éléments est la somme algébrique de tous les produits possibles que l'on peut former avec ces n* cléments, pris n à n, de manière que chaque produit ou terme ne contienne qu'un élément de chaque ligne et aussi qu'un élément de chaque colonne.