Terme principal du déterminant. — Le produit

Cil *^t Ci ... /m

des n éléments a„ b^, Cs, ..., /«, qui sont disposés en diago^

PROPtifiTtS GÉNtAALES DES DÉTEUillfAlfTS, 5

nale» de gauche à droite, constitue le terme principal du déterminant; les lettres s'y suivent dans leur ordre alphabétique et les indices y sont rangés dans leur ordre de grandeur croissante.

Ce terme est ainsi appelé parce qu'il sert à former, en valeur absolue, tous les termes du déterminant, en y maintenant les lettres dans leur ordre alphabétique et en opérant entre les indices toutes les permutations possibles.

Car, de cette manière, chaque terme obtenu, ne renfermant qu'une fois chacune des n lettres a, i, c, ..., / et qu'une fois aussi chacun des n indices i, 2, 3, ..., /i, ne contiendra qu'un élément de chaque ligne et aussi qu'un élément de chaque colonne.

De plus, comme nous l'avons déjà prouvé au n" 5, tous les termes du déterminant auront été formés, puisqu'on aura effectué toutes les permutations possibles entre les n indices

Oir pourrait aussi, dans le terme principal, maintenir les indices dans leur ordre numérique et opérer toutes les permutations possibles entre les n lettres a, b, c, ..., L

8. Règle des signes. — Le terme principal d'un déterminant est toujours affecté du signe +.

Si les lettres, dans les différents termes, sont maintenues dans leur ordre alphabétique, les autres termes seront affectés du signe -+■ ou du signe —, suivant que les indices y présentent un nombre pair ou un nombre impair d'inversions .n»l).

Ainsi, si n = 3, le déterminant défini au n"* 6 sera formé avec 3' ou 9 éléments; les produits a^btCi et aib^Cx seront deux termes de ce déterminant. Dans le terme a» fr, c„ les indices se trouvant rangés dans Tordre 2, 3, i, forment une inversion entre 3 et i et une autre inversion entre 3 et i ; ils présentent par suite un nombre pair d'inversions; donc ce terme devra être affecté du signe -4-. Dans le terme asfriCi, au contraire, il y a une inversion entre chaque indice et les suivants; il contient, par suite, trois inversions et devra être affecté du signe — .

b LIVRE I. — CHAPITRE I.

Si, au contraire, les indices se suivent dans leur ordre numérique, les différents termes du déterminant seront affeciés du signe + ou du signe —, suivant que les lettres y présentent un nombre pair ou un nombre impair d'inversions.

Ainsi, dans les deux termes a^hiC^ et a^btCi du déterminant formé avec 3' ou 9 éléments, rangeons les indices dans leur ordre numérique; ces deux termes s'écriront Ctas6, et Cl 63^3. Le premier C| a^ b^ de ces termes présentera deux inversions, Tune entre c et a, Tautre entre c et fr; il sera affecté du signe +. Le second terme Cx b^a^ présentera trois inversions. Tune entre c et 6, une autre entre c et a et la troisième entre i et a; il sera affecté du signe — .

9. Définition IV. — Chaque terme du déterminant de n' éléments est le produit de n de ces éléments, ou le produit de n facteurs; on dit, pour cela, que le déterminant est du n'*"** degré ou du n""»' ordre.

Le déterminant du n'*™« ordre contient autant de termes que l'on peut former de permutations avec les n indices 1, 2, 3, ..., n ou avec les n lettres a, 6, c, ..., /. Le nombre des termes de ce déterminant est donc égal au produit

10. Définition V. — Les termes d'un déterminant sont séparés en deux classes : la première classe ou la classe paire comprend les termes positifs; la seconde classe ou la classe impaire renferme les termes négatifs.

Dans un déterminant, le nombre des termes affectés du signe -f- est égal au nombre des termes affectés du signe — ; car, si dans un ternie positif on permute entre eux les deux derniers indices, on formera nécessairement un terme qui aura une inversion de plus ou de moins que le précédent; ce terme sera donc négatif.

11. Exemples. — i* Pour avoir le déterminant du second ordre, composé des quatre éléments

û.» bi,

As, bi,

PROPAlfiTÉS GCHÊRALES DES BÉTERHINAICTS. 7

dans le produit ab on donne aux deux lettres a e\b les indices respectifs i et a, puis 2 et i, tels qu'ils se suivent dans les permutations 12 et 21 que Ton peut former avec les indices I et 2; on donne le signe + au premier résultat ax 61 et le signe — au second a-t 6,. On trouve ainsi «i fta — a^ bx pour le déterminant demandé.

2« S'il s'agit de former le déterminant du troisième ordre^ qal est composé des neuf éléments

tfiy bxy Cl,

J, \ Ou bu Cu

ûa» 6>, C'if

on écrit la lettre c affectée de l'indice 3 à la droite de chacun des deux termes aibt, —atbi du déterminant du second ordre, ce qui fournit les deux produits aibid et — athxCi; puis on fait avancer l'indice 3 d'un rang dans chacun de ces produits, ainsi que dans les deux produits résultants, et l'on a soin de changer le signe du produit à chaque pas de l'indice 3. On obtient ainsi le déterminant demandé du troisième ordre

ill 1 Oi bt Cj — ût 6s Ci -+• ùi 6| Ci — at 6| Cj 4- at b^ Ct — a^ bt Cj.

12. Remarque. — Supposons que les neuf éléments disposés en carré (I), qui composent notre déterminant du troi* sième ordre (II), soient les coefficients respectifs qui multiplient les inconnues dans un système de trois équations du premier degré à trois inconnues j;, /et z; ce système sera nécessairement le suivant :

OiX -h bijr -^CiZ =: k,,

tfa a? H- ft|/ -^ dZ =: ki,

où les termes connus A*,, h et A*, sont quelconques.

H est aisé de voir que notre déterminant (II) est précisemeot le dénominateur commun des valeurs que fournissent pour les inconnues x,jrei z les formules générales de Craf^r. On sait que le géomètre genevois avait donné ces for-

LITRE I. — CHAPITKB 1.

mules» dès 1 760, dans son Introduction à l'Analyse des courbes algébriques. Aussi la fonction (II) est-elle souvent appelée ie déterminant des premiers membres du système linéaire (III).

13. Notation ordonnée de Cauchy. ^ On représente le déterminant de /i* éléments, en plaçant entre deux traits verticaux, entre deux barres, le tableau carré de ces éléments.

Ainsi le déterminant déflni ci-dessus (1,^, 3 et 4-), que nous désignerons toujours par la lettre grecque A, sera représenté par la notation

fli bi Cl ... /,

t'a Ci ... «j

(IV

an b.

Cette notation offre de grands avantages dans récriture ei la combinaison des formules. Elle a été employée, pour la première fois, par Cauchy dans son Mémoire Sur le nombre de valeurs qu'une fonction peut acquérir {Journal de l'École Polytechnique^ XVIP Cahier, i8i5, p. Sa); elle a été suivie depuis par Jacobi dans tous ses écrits [De formatione et proprietatibus determinantium, 4, et Journal de Crelle, 1. 15, p. ii5 et suivantes).

D'après celte notation, on a (11)

= atbi — a, 6,,

ft.

= fli bi C3 — âi 6s Ct ■+- Ui 6, Ct — «1 bx Ci -+- at 6, c, — ^a ^

14. Notation à double indice de Leibnitz. — Dans la suite, sauf avis contraire, nous représenterons toujours, comme ci-dessus (1)? les éléments de chaque colonne verticale par la môme lettre, et nous donnerons le même indice aux lettres d'une même ligne horizontale: rindice marquera toujours le rang de la ligne.

Ce mode de représentation des éléments se prête avec avantage aux démonstrations élémentaires.

PK0PK1ÉTÉ8 GtlftRALES DES DÉTBEVllfANTS.

Cependant la notation ordonnée» qui est la plus usitée en Mathématiques supérieures, consiste à représenter tous les éléments par la même lettre, à laquelle on donne un double indice : le premier indice désigne toujours le rang de la ligne horizontale à laquelle appartient l'élément, tandis que le second indice marque le rang de la colonne verticale où se trouve Télément.

Le déterminant du troisième ordre (i3)

s'écrira ainsi

{VI

Lorsque le déterminant est d'un ordre supérieur au neuvième, on a soin de séparer par une virgule les deux indices de chaque lettre.

La notation précédente est due à Leibnitz; elle se trouve indiquée dan^ ses Œuvres mathématiques, qui ont été publiées par Gerbardt, t. Il, p. 289, et se lit dans la lettre que Leibnitz a écrite à L'Hospital, le 28 avril 1693.

15. f^usieurs auteurs, dans remploi de la notation de Leibnitz, placent en exposant V indice ePordre des colonnes. Ainsi, pour marquer la place d'un élément dans le tableau (IV) de Cauchy, ils afifectent de deux indices superposés la lettre qui représente les éléments ; Tun de ces indices est inférieur et l'autre supérieur. L'indice inférieur indique le rang de la iigne à laquelle appartient l'élément, tandis que l'indice supérieur désigne le rang de la colonne où se trouve l'élément.

Le déterminant (VI) du troisième ordre sera ainsi représenté par la notation générale

(Vffl)

«""* ordre s

'écrira

al al