LIV&B I. -- CHAPITRE I

Cette manière de représenter les éléments pourrait s'appeler noiation à indices superposés, tandis que la précédente (14) pourrait se nommer notation à indices consécutifs,

i6. Formation des termes du déterminant dont les éléments sont à indices superposés. — Le terme principal du déterminant (VUl) est encore le produit

a\a\al • • • <i

ayant pour facteurs les éléments de la diagonale principale.

Ce terme sert toujours à former tous les autres termes du déterminant A.

Pour les obtenir en valeur absolue, on peut :

1*" Supposer fixes les indices inférieurs et opérer toutes les permutations possibles entre les indices supérieurs; ou encore,

2** Maintenir à leur place les indices supérieurs, et effectuer tontes Ifô permutations possibles entre les indices inférieurs.

Quant au signe de chaque terme, on intervertit Tordre des éléments dans ce terme, de manière que les indices inférieurs se suivent dans leur ordre numérique, et Ton donne au terme le signe + ou le signe —, suivant que les indices supérieurs présentent un nombre pair ou un nombre impair d'inversions.

On peut encore amener les indices supérieurs dans leur ordre natun^, en intervertissant Tordre des facteurs, et évaluer le nombre des inversions que présentent les indices inférieurs.

17. Règle des signes ponr les déterminants dont les éléments sent à indices superposés. — Lorsque les deux séries d'indices se suivent cTune manière quelconque dans un terme ^ il faut donner à ce terme le signe -h ou le signe — , suivant que la permutation des indices inférieurs et la permutation des indices supérieurs sont de même parité ou de parités différentes.

Soit, en effet,

la valeur absolue d'un quelconque des termes du déterminant (VID), chacun des produits t\ v^ n, . . . %y u^ w, w^ . . . w. constitue Tune des n permutations que Ton peut former avec les n premiers nombres entiers

Dans ce terme, je permute entre eux les deux éléments

et j'appelle T' le produit résultant; la permutation des indices inférieurs a changé de parité (4), ainsi que celle des indices supérieurs; donc,

rKOPUÉTtS GfiNfiRALES DES DfiTERMIlfAlfTS. II

si )es deux permutations des indices sont de même parité dans T, elles seront encore de même parité dans T'; et, si ces deux permutations sont de parités différentes dans T, elles seront aussi de parités différentes dans T'.

n s*ensuit que , si Ton intervertît d'une manière quelconque Tordre des facteurs dans T, la parité relative que présentent la permutation des indices inférieurs et celle des indices supérieurs n'est pas altérée.

Or, si Ton ramène les indices inférieurs dans leur ordre naturel, la permutation de ces indices devenant i.!i.3.../i sera paire; donc le terme T devra être affecté du signe h- ou du signe —, suivant que la permutation résultante des indices supérieurs sera paire ou impaire. Il s'ensuit que le terme T sera positif ou négatif, suivant que les permutations des indices inférieurs et des indices supérieurs sont ou non de même parité.

17 bis. Notation abrégée des déterminants. — Afin d'abréger les écritures dans les démonstrations et de simplifier Texpression des formules, on représente souvent les déterminants par ie terme principal mis entre parenthèses, et on laisse au lecteur le soin de rétablir les autres termes.

Ainsi les déterminants du a**"*, du S**"*, ..., du n***"* ordre pourront être désignés par les notations succinctes

Cette notation a été suivie par M. Baltzer(')etM. Salmon (^). A cette notation on substitue fréquemment )a suivante :

A = 2 ±: /ii fti C3 . . . /„, qui est usitée en Mathématiques supérieures.

§ II. — Transformation des déterminants.

18. Théorème I. — Lorsque, dans un déterminant, on change les lignes en colonnes, et vice versa, le déterminant ne change ni de valeur ni de signe.

(* j Baltzei, Théorie eC application des déterminants, p. 26; 1861. (') Salhon, Leçons d'Algèbre supérieure, p. i; 1868.

12 LITRB I. -— CHIPITRB I.

Ainsi, si l'on a

«I fri c, d^

«1 bi Ci rfj

«i 63 Ci di

Azr.

et A' =

A' sera ideniiquemeni égal à A.

En efiety considérons un terme quelconque du premier déterminant A, par exemple le terme

pour trouver le terme T' dont les éléments occupent dans A' les cases que les éléments de T occupent dans A, il suffit de remplacer dans T les lettres a, b, c eid par les lettres c, a, d et b, dont le rang dans l'alphabet est marqué par les indices 3, i, ^ em, et de substituer aux indices 3, i, 4 et 2 de T les indices i, 2, 3 et 4 qui désignent le rang des lettres a, b,c et d dans l'alphabet. On trouve ainsi que la valeur absolue de T' est d ^2 d^ 64 ou a^ 6« Ci d^, en ramenant les lettres dans leur ordre alphabétique. Le produit a^ 64 c. </, présentant trois inversions doit être affecté du signe — ; on a donc

T' = — Ct b^ Cx di*

Or il est évident que le terme T' est l'un des produits négatifs que l'on obtient par la permutation, dans le terme principal OthiCidi, des indices i, 2, 3, 4 de toutes les manières possibles; donc le terme T' se trouve dans A avec le signe -• On prouverait de la même manière que chaque terme de A' se trouve avec son signe dans A. Puisque les deux déterminants A' et A sont de même ordre, on en conclut que A = A'.

19. Dans remploi de la notation à indices superposés, les deux déterminanls A et A' afTeclent les formes

rt'