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PHOPRlfiTtS GtNtRALBS DBS DfiTBBHIlCàNTS. l3
Dans le déterminant A prenons un terme quelconque
composé des éléments soulignés. Dans le déterminant A', je souligne les éléments qui occupent les mêmes cases et j'en forme le terme
Ces deux termes sont négatifs, parce que la permutation des indices inférieurs et celle des indices supérieurs y sont de parités différentes.
Le terme T' est contenu dans le premier déterminant A, car il est formé de quatre éléments appartenant à des lignes différentes ; d'ailleurs il porte le signe que lui donne la règle du n** 17.
20. En général, changer dans (VIII) du n"" 15 les lignes en colonnes et les colonnes en lignes, c*est permuter les indices supérieurs avec les indices inférieurs; par conséquent, les signes se maintiennent dans les nouveaux termes.
D'ailleurs chaque terme du nouveau déterminant se trouvera dans l'ancien, puisque les deux séries d^ndices de ce terme seront deux des permutations que l'on peut former avec les n premiers nombres entiers
21. Théorème II. — Lorsque^ dans un déterminant^ on permute deux lignes ou deux colonnes, le déterminant conserve sa valeur absolue, mais change de signe ( Laplagb, Histoire de V Académie de Paris^ l. Il, p. 297; Vandermondb, ibid., p.5i8).
Considérons les trois équations linéaires [III) à trois inconnues du n*" 12; le déterminant des premiers membres en est
«I bt c,
Ui bi Ci Oi bi Ci
Si nous permutons entre elles la première équation et la iroisièmCy ce système prendra la disposition
a^x -h bijr-^ CiZ=: kz,
Ui X -^^ bi jr -h Cl z = ktf et admettra pour les inconnues les mêmes valeurs que dans le
l4 LIYtB I. — GHAPITAB I.
précédent. Paf conséquent, le déterminant
ûi 63 Cl
(2) ai fti Ct
de ce nouveau système, qui est du même degré que (i ), a même valeur absolue que ce déterminant (i}. Mais le terme principal ai btd de (i) est positif, tandis que le terme principal a» 6s Ci de (i)f positif dans (2), présente trois inversions par rapport à aibiC^; il est donc négatif dans (i). Donc les deux déterminants (i) et (2] sont égaux et de signes contraires.
Démonstration générale. — Supposons que, dans le déterminant A
(IV du n"* 13), on permute entre elles les deux colonnes où se trouvent
les éléments e et hj et désignons par A' le déterminant qui en résulte.
Soit
T = --i.-A^.B/ipC
un quelconque des termes du déterminant donné A; si nous y permutons les deux indices a et p, nous obtiendrons aussi un terme T^ du déterminant A; mais, dans les deux termes T et T,, les permutations des indices sont de parités différentes (n'' 4) ; donc ces deux termes sont affectés (le signes contraires. On a par suite
Cela posé, dans A permutons entre elles les deux colonnes e elh\ le terme T, deviendra
T'==pA/*pB£r.C,
ou, en ramenant les lettres dans leur ordre alphabétique,
T'=qrA^.B//pC.
Or les deux termes T et T' sont visiblement égaux et de signes contraires; donc chaque terme T du déterminant A correspond à un terme égal et d'un signe contraire dans le déterminant A' ; donc les deux déterminants A et A' sont égaux et de signes contraires, ou bien A = — A'.
Nous avons vu au nM8 qu'un déterminant ne change pas lorsqu'on Y change les lignes en colonnes et vice versa; par conséquent, tout déterminant change aussi de signe, lorsqu'on y permute entre elles deux lignes quelconques.
PB0PB1ÉT&8 GfiNÉEALES DBS DÊTBBMIlfAMTS. l5
22. Corollaire I. — Lorsqu'on permute entre elles deux lignes, puis deux colonnes, le déterminant reprend son signe.
En général, si^ dans un déterminant, on fait/? changements de deux lignes et q changements de deux colonnes, le déterminant sera muliiplié par (— i)''-*"?.
Il s'ensuit que, si l'on permute circulairement un certain nombre p de lignes ou de colonnes, le déterminant change ou non de signe, suivant que le nombre des lignes ou colonnes permutées circulairement est pair ou impair.
Car une permutation circulaire de p lignes équivaut à/? — i changements de deux colonnes, et a, par conséquent, pour effet de multiplier le déterminant par (— i)^-**.
En particulier, si Ton permute circulairement les n lignes d'un déterminant du n'^""* degré, celui-ci change ou non de signe, suivant que n est pair ou impair.
23. Corollaire II. — Un déterminant ne c/uinge pas si l'on permute les colonnes et les lignes de telle sorte que les éléments de la diagonale restent les mêmes, quel que soit d'ailleurs l'ordre de ces éléments.
En effet, supposons qu'on veuille que les éléments de la diagonale soient par ordre
flî, al, al. ..., a\.
On amènera Télément a\ à la première place, au moyen de a — i permutations de deux lignes et de a — i permutations de deux colonnes; ce qui produira a(a — i] changements de signe ou un nombre pair de changements de signe; par suite, le déterminant conserve son signe. On amènera de même l'élément a\ à la seconde place de la diagonale par un nombre pair de permutations de deux lignes et de deux colonnes, et ainsi des autres éléments; donc le déterminant conserve sa valeur et son signe.
23 bis. Corollaire in. — On peut amener au sommet du déterminant on élément at? en transportant au premier rang la ligne et la colonne qui se croisent à l'élément a\ et en multipliant le déterminant par
* 24. Définition. — Échanger les diagonales d'un déterminant, c'est disposer les lignes ou les colonnes de manière que la seconde diagonale (celle qui, en descendant, va de droite à gauche) prenne la place de la première, et vice vcrsâ.
