LIVRE I. — CHAPITRE I

Pour échanger les diagonales d*un déterminant, on peut pennater entre elles les lignes extrêmes, en même temps que toutes les lignes équidistantes des extrêmes.

On peut encore échanger entre elles les colonnes extrêmes, en même temps que toutes les colonnes équidistantes des extrêmes.

* 25. Théorème III. — Lorsquùon écJiange les diagonales iTun déterminant de l'ordre /i, le déterminant conserve sa valeur absolue; nuits il change ou non de signe, suivant que le plus grand nombre pair contenu dans son degré n est simplement ou doublement pair.

Car, si 2// est le plus grand nombre pair contenu dans /i, on aura opéré p permutations de deux lignes ou de deux colonnes; le déterminant résultant sera par suite égal au déterminant donné multiplié par (— iV; ce dernier aura donc été multiplié par -— i ou + 1, suivant que/» est impair ou pair, c'est-à-dire suivant que ap est simplement ou doablement pair.

Ainsi l'on a

rf.

26. Théorème IV. — Lorsque, dans un déterminant, deux lignes ou deux colonnes deviennent identiques, le déterminant se réduit à zéro. (Yanbermondb, Histoire de l'Jcadémie de Paris, l. II, p. 552 ; 1772.)

En effet, si I oii permute entre elles deux lignes, par exemple, le déterminant A change de signe (21); mais, si les deux lignes sont identiques par leur permutation, là valeur du déterminant A ne sera pas altérée; celle-ci restera donc la même en changeant de signe, ce qui exige qu'elle soit égale à zéro.

Autrement, soit A le déterminant donné, et désignons par A' le nouveau déterminant que Ton obtient en permutant les deux lignes identiques; nous avons (21)

PEOPBIÉTÉS GÉNÉRALES DES DÉTBBMINANTS.

mais, les deux lignes étant identiques, le déterminant ne change pas el l'on a

ajoutant membre à membre, on trouve*

Deuxième démonstration. — Considérons un terme T = db A^.B^^ C du déterminant A, qui contient Télément e^ de la ligne de rang a et l'élément g^ de la ligne de rang p, où a est plus petit que p. Ce déterminant contiendra aussi le terme T^ = =}= Â«^ B^.C, qui sera de signe contraire au précédent (13). Or, si les deux lignes de rang a et de rang ^ deviennent identiques, on aura a = p, ce qui transformera nos deux termes dans les suivants :

T=r±:A^.Bg^.C et T, = q=A^.B^.C;

par suite, il viendra T = — T^. Il s*ensuit que les termes de A seront deux à deux égaux et de signes contraires; donc on aura A =r o. Ainsi Ton peut écrire

27. Théorème V. — Lorsqu^on multiplie ou que Von divise tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne par le même facteur^ le déterminant est multiplié ou divisé par ce facteur.

En effet, dans le déterminant donné, chaque terme contient toujours un élément d'une ligne ou d'gne colonne et n'en contient qu'un seul (6); tous les termes sont ainsi multipliés ou divisés par ce facteur et ne le sont chacun qu'une fois; par suite, le déterminant est multiplié ou divisé par ce même facteur.

Donc on a

mbi

UVRB I. -