CHAPITRE I
et
fti : n c,
a, hx
bt' n Ct
Ci 6,
Cj
b^\n Ci
28. Corollaire I. — Lorsque les éléments d'une ligne ou d'une colonne sont divisibles par un même facteur, on peut supprimer ce facteur commun dans cette ligne ou cette colonne et l'écrire en coefficient hors barres.
Ainsi l'on peut écrire
Ui
Ct
Oi
29. Simplification de certains déterminants. — La propriété que nous venons d'établir permet de donner à certains déterminants une forme plus avantageuse.
Ainsi, dans le déterminant
Ar=
bc a a' ca b 6* ab c c^
multiplions les trois lignes respectivement par a, b, c; le déterminant sera multiplié par le produit a.b,c = abc^ et il
viendra
abc a' a*
abc b^ b*
abc c' c*
abc/i =
divisant actuellement la première colonne par abc, on divise le déterminant abc A par abc, et Ton obtient
A ou
bc a a' ca b bab c c'
PROPRifiTÉS GÊNÊRâLBS DBS PfiTBRaiNANTS.
On verrait de même que
bcd
cda
dab
abc
30. Corollaire II. — Lorsque les éléments de deux lignes ou de deux colonnes ne diffèrent que par un facteur constant, le déterminant est nuL
Car, d'après les n°* 28 el 26, on a
mai
ma.
ma^
Cz
Il s'ensuit que
a oc
éx»
Ui
Oj
a Xo o,
âf
ce
a"Xo 0.
31. Corollaire III. — Lorsque Von change le signe de tous les éléments d'une ligne ou d'une colonne, le déterminant change de signe.
Car cela revient à multiplier le déterminant par — i (27). Ainsi il vient
Dans le premier déterminant on a changé les signes des éléments de la seconde ligne, et dans le second les signes des éléments de la troisième colonne.
LITRB I. — CHAPITRE I.
32. Remarque. — Lorsqu'un déterminant est égal à zéro, on peut donc multiplier ou diviser les lignes et les colonnes par dei quantités constantes, positives ou négatives, sans alté^ rer l'équation que l'on obtient en égalant à zéro le déterminant donné,
33. Au n« 29, nous avons transformé un déterminant en un autre équivalent de même ordre, dans lequel les élémenis de la première colonne sont égaux à Tunilé. Celle transformation est toujours possible. En général :
Théorème V. — Tout déterminant est égal, à un facteur prèSy à un déterminant de même ordre, dans lequel les éléments d'une ligne ou d'une colonne quelconque sont égaux à l'unité.
Considérons le déterminant
abc a' b' c' a" b" c" I
et supposons qu'il s'agisse d'y transformer la première ligne. MulUplions chaque colonne par le produit des élémenis de la première ligne qui appariiennent aux autres colonnes; en d'aulres termes, mulliplions Tes trois colonnes par les produiis respectifs bc, ca et ab; le déterminant sera mulliplie par le produit bc.ca.ab = a^b^c' (27) ; il vient par suite
abc bca cab a'bc V ca c'ab a'bc V'ca c"ab \
divisons mainienanl la première ligne par le facteur commun abc, le délerminanl sera divisé par abc (28), de sone que Ton a
abcL =L
a'bc b' ca c'ab a" bc b" ca cT ab
PB0P&1ÉTÉS GfiNfiRALBS DBS DÉTBB>1KAIITS.
donc on trouve que
ai
jt
abc
a' bc 6' ca c' ab a"bc b"ca c^ab
34. Remarque I. ~ Il est aisé de voir que, sî le détermiDant est du /?*■• degré, le diviseur du nouveau déterminant sera rf^'^^c^^ . . . f-^, •
35. Remarque IL — Si les élémenis de la ligne ou de la colonne à transformer avaient des facteurs communs, on prendrait pour élément commun le plus petit commun multiple des éléments de cette ligne ou de cette colonne.
Ainsi Ton aurait
Le plus petit commun multiple des éléments delà première ligne étant 12, on a multiplié les quatre colonnes par 3, 4* ^ et 12.
Le dernier déterminant peut encore être simplifié : il sufGt d'y diviser les trois dernières lignes chacune par 2 et de multiplier hors barres par le produit 2.2.2 = 2'; on trouve qu'il
se réduit à
36. Le théorème précédent et la remarque II ont une grande importance; on en fait presque toujours usage dans l'évaluation des déterminants tant numériques qu'algébriques.
