LITRE I. — CHAPITRE
§ III. — Les déterminants mineurs.
37. Définition I. — On appelle déterminant mineur d'un déterminant donné celui que forment les éléments conservés, lorsqu'on supprime, dans ce déterminant donné, un certain nombre de lignes et le même nombre de colonnes.
38. Définition IL — Les déterminants mineurs, que l'on obtient par la suppression d'une ligne et d'une colonne, soDl dits du premier ordre; ceux que donne l'omission de deux lignes et de deux colonnes sont appelés du second ordre; et ainsi de suite.
39. Un déterminant du n^^ degré a /i' déterminants mineurs du
premier ordre; ^ ^^~'^ déterminants mineurs du deuxième ordre, etc.
40. Notation. — Nous désignerons par Ae, le déterminant mineur du premier ordre qui est relatif à l'élément «i, c'està-dire le déterminant mineur que l'on obtient en supprimant, dans le déterminant A, la ligne de rang i et la colonne qui contient les éléments représentés par la lettre e.
41. Propriété essentielle des déterminants. — Chaque terme d'un déterminant contient toujours un élément d'une ligne et d'une colonne et n'en contient qu'un seul (6). Par conséquent :
Le déterminant A est une fonction linéaire et homogène des éléments d'une même ligne et d'une même colonne.
42. Développement d'un déterminant suivant les éléments de la première colonne. — Considérons le déterminant du quatrième ordre
Ut bi Cl rfi
Oi b. Ci d
a^ bi Ci di
Ui 64 c, di i
et proposons-nous de le développer suivant les éléments fl., «ï» aj et a^ de la première colonne.
PROPBIÉTte GtNtRALBS DBS DfiTBBMlNANTS.
Dans ce déterminant, un certain nombre de termes contiennent l'élément d et ne le contiennent qu'une fois (M); soit Pi l'ensemble de ces termes et dans le polynôme Pi mettons le facteur commun ai en évidence. Si nous appelons Ai le quotient de Pi par ai, nous aurons P, = Ai ai et le quotient Al ne contiendra aucun des autres éléments a^, a,, a^ de la première colonne.
Si nous représentons de même par A3, A, et A4 les coef- Qcients des trois autres éléments a^, a^ et a^ de la première colonne, nous aurons
11 s'agit de déterminer les expressions des coefficients A., A3, Aa et A4. Or je dis que le coefficient Ai est précisément le déterminant mineur
6i C] dt
63 Ci di
64 Ci di
que l'on obtient en supprimant dans le déterminant A(^^ la ligne ai, bi, Ci, di et la colonne ai, as, ag, a4 qui contiennent réiément a,.
£n effet, tout terme du déterminant Aa,, étant multiplié par ai, fournira un produit qui se trouvera dans le déterminant A^*^; de plus, ce produit s'y trouvera avec le signe qu'il a dans le déterminant A^^^, puisque, en plaçant l'élément a, devant ce terme de A.,, on n'y introduit aucune inversion.
Nous avons donc A, = Aa..
Nous obtiendrons la valeur du coefficient A, de l'élément a„ en amenant cet élément aa à la première place par la permutation des deux premières lignes. Cette permutation donne
— Af'î =
Ct
24 UYRE I. — CHAPITRE I.
et ici le coefOcient de a^ dans le second membre sera
6, Ct dx
Aii,= ftj Ca da 64 Ci rf|
on a donc
On verrait de même que
A3 — -h A., et A4 = — A«,; donc nous avons
A(^^ z= ax Aa, — a, A«, H- «8 A„, — ^4 A.,. L'inspection de ce développement nous fait voir que :
Théorème I. — Le coefficient d'un élément quelconque de la première colonne est égal au déterminant mineur que Von obtient en supprimant dans le déterminant donné la ligne et la colonne qui contiennent cet élément. Le déterminant mineur devra être affecté du signe -h ou du signe —, suivant que Vêlement est de rang impair ou de rang pair.
Démonstration générale de ce théorème. — Supposons que ie déterminant A (IV) du n*" 13 soit développé*
Nous pouvons grouper ensemble les termes qui contiennent rélémenl a^ de la première colonne et y mettre cet élément en facteur commun, nous pouvons de même mettre en évidence l'élément a^ dans l'ensemble des termes qui le contiennent ; puis en faire autant pour les autres éléments de la première colonne.
Si nous désignons par A,, A,, A3, « . . , A^ les coefficients respectifs de ces éléments a^, a^^ n^, . . ., a^, ces coefficients ne contiendront aucon des éléments de la première colonne, et nous aurons
( I ) A = A, flr, -h Aj Oj H- A, ^3 -H . . . H- A„ <3f^.
Puisque A = 2 =b a^ ^, C3 . . . (,, il est évident que cette formule donnera la partie A, a^ du second membre précédent, si Ton suppose que l'élément a^ reste invariable dans le terme principal a^b^c^.,. /. et que Ton n'y fasse porter les permutations que sur les indices 1%, 3, . . ., /z des autres lettres b, c, ...,/: car aucun des produits résultants ne contiendra aucun des éléments a^, a^y . . . , a„. On a dans ce cas
PROPRifiTfiS GÉNÉRALES DBS DÊTERVINANTS,
d'où l'on tire
OU bien
Dans le déterminant A permutons entre elles les deux premières lignes, ce qui revient à permuter entre eux les deux indices i et 2 : le déterminant A change de signe, et notre formule devient
" ■* — "ï •'i * 3 • • • *ii »
celle-ci donnera la partie A, <7,, si Ton y suppose a^ constant et que Ton ne fasse porter les permutations que sur les indices i, 3, ..., a des lettres 6, r, ...,/. On trouve ainsi que
A,/7, =— r/,2dz^,c3 ... (,;
d'où l'on tire
Dans la formule (:i), transposons les indices si et 3; le second nombre change de signe et la formule devient
A= ï-b^jô, c,^^ ... /,;
celle-ci donnera la partie k^a^à» (i], si Ton suppose que l'élément a^ reste invariable et que Ton ne fasse porter les permutations que sur les indices 1,2,4; • • • l 'z des autres lettres ^, f, £/,...,/. On a donc
d'où Ton tire
26 LIVBK I. — GBAPITBB K
En conlinuant dj la sorte, on trouve en général que
Substituons les valeurs de tous ces coefficients dans régalité (i), nous obtenons pour le déterminant A Texpression
A = fl, A
43. Corollaire. — Puisque, dans un déterminant» on peut changer les lignes en colonnes et vice versa, il s'ensuit que le coefficient d'un élément de la première ligne se détermine de la même manière que le coefficient d'un élément delà première colonne. Ainsi Ton a
A(<î = a, A«, — bi A*. -4- c, Ac. — rfi A^,.
44. Calcul du coefficient d*un élément quelconque du iéterminant. — Proposons-nous de calculer le coefficie'nt D, de rélément dt qui, dans le déterminant du quatrième ordre (42), se trouve à l'intersection de la troisième ligne et de la quatrième colonne.
Nous pouvons amener la troisième ligne au premier rang, en la faisant permuter d'abord avec la seconde ligne, puis avec la première; nous effectuons ainsi 2 ou 3 — i permutations de deux lignes consécutives, et produisons par suite 3 -— I changements de signe dans le déterminant A(^^ (42). De même, dans le nouveau déterminant A'(^\ nous amènerons la quatrième colonne au premfer rang par 4 — 1 permutations de deux colonnes consécutives, ce qui produira aussi 4 ~~' changements de signe dans ùi"^*K
L'élément d^ se trouve donc amené à la première place par (3 — 1)4- (4 — 0 ou 3-1-4 — 2 ou, ce qui revient au même, par 3 + 4 changements de signe ; donc le coefficient Di de di
PROPBIÉTfiS GÉNÉRALES DBS DÉniRMINAITTS. 27
îsi égal au déterminant mineur qui lui correspond, multiplié par;— !)»-*-<; il est égal à — AÎ/,\ Nous en concluons en général que :
Théorème II. — Le coefficient de l'élément qui occupe la x'^' place dans la P'*^ colonne est égal au produit de (— i)^-*-^ mr le déterminant mineur que l'on obtient en supprimant la ligne de rang a et la colonne de rang p.
45. Démonstration directe de ce théorème. — Soit en effet e^ Téémeot qui se trouve à rintersection de la ligne de rang a et de la colonne le rang 6.
On amènera la a**™" ligne au premier rang, en la permutant d'abord avec la li^e qui la précède immédiatement, puis avec la ligne qui la précède îBcore d'un rang, . . . , enfin avec la première ligne; on aura ainsi effectué t — I permutations de deux lignes consécutives, ce qui aura produit t — I changements de signe dans le déterminant A, de sorte que ce déterminant A est égal au nouveau déterminant A' multiplié par (— i)'"', c'est-à-dire que
^=l-i)«-A'= (-!)•- [«A.-M..+ ^.^.— ••+(-')"-'/Aj.
Dans le déterminant A' nous pouvons aussi amener la p^"^ colonne au premier rang par p — i permutations de deux colonnes consécutives, ce ipii produit encore p — i changements de signe. Le déterminant A" qui en résulte sera par suite égal au déterminant A' multiplié par (— i)^"'.
Dans le déterminant A' l'élément e^ occupe la première place.
Mais, puisque A = (- i)*'' A' et A' = (- i)^"* A», il vient
A = (- i)*-' (- i)?-' A''= (- i)«'-P-»A', DU
Donc le coefficient de e^ est égal à
46. Règle pratique pour déterminer le signe du coefficient d'un élément. — On peut se dispenser de calculer le signe de la puissance (— 1)*'^^ en procédant de la manière suivante :
Partant du premier élément principal A(*^ du n^' 42, on chemine sur la première ligne jusqu'à la colonne de c/s» et, en
28 LVVRB I. — CHAPITBB I.
commençant par le signe +, on change le signe en passant de chaque colonne à la suivante. On dira ainsi + sur a„ — sur ft,, -h sur c», — sur J, ; puis, partant de ce dernier signe, on descend vers (/s, en changeant le signe au passage de chaque ligne à la suivante, en disant + sur dt, — surdy Le coefficient de rf» devra donc être pris avec le signe — .
On serait arrivé au même résultat en descendant d'abord sur la première colonne jusqu'à la ligne qui contient d^, puis en cheminant sur cette ligne jusqu'à l'élément ^3.
47. Théorème III.— Lorsqu' on multiplie les éléments d*itiu ligne ou d'une colonne par les déterminants mineurs y pris alternativement avec le signe -h et le signe — , qui sont relatifs aux éléments correspondants d'une autre ligne ou colonne ^ la somme algébrique des produits obtenus est égale à zéro.
En effet, supposons que, dans le déterminant du quatrième ordre A^^^ du n"" k2, nous remplacions la quatrième colonoe des d par la deuxième des b, le nouveau déterminant aura deux colonnes identiques et sera égal à zéro (26).
Or, si l'on ordonne A^*^ par rapport aux éléments de la quatrième colonne, on aura
AC*)=:~ d, D, -^ d,D, — d, D, + d^ D4,
et, comme la substitution des b aux d change ce développement en
— 6, Dt -h b, D,— 6,D3 + *4 D4,
on voit que
ou
6,Di — ftjDï-hftaDs — ft4D4 = o
Ui 63 C2
«1 bi c,
«1 Ai C, '
a^ 63 Cs
«3 fts Cs
-T- 63 Ut 63 Cs
03 6s Cz
«4 ft| Ci
mO.
Cette identité est immédiatement évidente pour le déterminant du troisième ordre [ V) du n** 13; car, si nous y mul-
PROPBIÉTÉS GtNfiRAlES DES DÉTERHINANTS.
iplions les éléments de la première colonne par les détermîlants mineurs relatifs aux éléments de la troisième colonne, )ris alternativement avec le signe -h et avec le signe —, nous )bienons l'expression
fli
ft.
ft.
= a, («163 — «8*j) — ûi(a, 63 — ^^361) -+- Û3(ûift3 — ajfti)»
|ui s'annule d'elle-même.
Nous trouverons une application de ce théorème dans la résolulion des systèmes d'équations linéaires à plusieurs Inconnues (121).
48. En général, considérons le déterminant du /i***"" ordre A du n** i , H développons-le suivant les éléments de la ligne de rang a; nous iTons ( 45 )
Dans ce développement, remplaçons les éléments en évidence a^, ^., ^; •..,/« de la ligne de rang a par les éléments correspondants a^,b^, Cy -.., i^ de la ligne de rang p ; les deux lignes de rangs a et 6 deviendront identiques dans A; par suite, ce déterminant s'annulera ; donc la faleur /
que prendra son développement devra aussi se réduire à zéro.
§ IV. — Développement des déterminants.
49. Définition. — Développer un déterminant, c'est former la suite des termes composant le polynôme qui est égal au déterminant.
50. Méthode pour développer les déterminants. — Pour développer un déterminant, le moyen le plus simple qui se présente à l'esprit consiste à ordonner ce déterminant par rapport aux éléments de la première colonne (1»2).
Les coefficients de ces éléments sont eux-mêmes des dé-
