LIVRE I. — GHAPITEB I

terminants; on peut aussi les ordonner chacun par rapport aux éléments de leurs premières colonnes.

En continuant de la sorte, on finira par arriver à des coefficients qui sont des déterminants du second ordre. Ces déterminants, étant des binômes, se développent immédiatement.

Il suffira ensuite d'effectuer les multiplications indiquées, pour avoir le déterminant développé en polynôme.

Ainsi Ton a (&2}

— fll

fta

-f-Oj

Oi 6| Ci

Ci 63 Ca

«3 bi Ci

= «I [bi Ci — bi Ci) — fla (6, C3 — 6, c) -h Oi (6i C2 — 6îC, = ai6,C3 — OibiCi — aibiCi-hCibiCi-^- a^biCi—aibiCi'

En appliquant la même règle au déterminant du quatrième degré du n^ 42, on trouve qu'il peut s'écrire

• tf, Afl — a, Aa -h a, Aa — 04 A, ,

où

Ao.^

Aa,-

bi Ci di -^ 6, c, di — 64 Cidu

bi Cs di 4- 6a C4 rf, -f- 64 Cl rfi 6, C4 di — 6, c, rf4 — 64 Tadi,

6i c, di H- fr, C4 «/, -+- 64 c, rf, il Ci di — bi Cl di — bi Cx </„

bx Ci di -h bi Cs rfi -h 6j Cl di b, c*3 rf, — 62 C| rfs — 63 Cl dx*

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES DÉTERMINANTS. 3l

Nous voyons ainsi que le déterminant

<i, bi Cl dx

a, 6, Ci di

as bi c» di I ûé 64 Ci di Cl bt C4 di H- «1 63 C4 c?a — a, 63 Ca (/< -}" a, 64 d di ai 6, C3 rfi -4- «j 6| C4 di — «2 6, C4 rf, -f- «r, 63 c, d^ a, 64 C3 rf, -4- a, 6, c, rf, — - «3 61 ^4 rfa -+- fls 62 c?4 rf,

fls 64 Cl C?, — «3 64 ^2 rfi — «4 i» Ca rfj -f- «a 6, C3 ^4 Û4 6a C, rfs — «4 6, C, rfa -t- «4 63 Ca rf|.

aibiCsdt

Oi 64 C3 fi^ û» 64 C, C?a fla i, C, rf* ^4 ij C3 rf,

51. Comme exercice, nous appliquerons la méthode précédente aax exemples ci-dessous :

ar* y

"xY—y^"

x"y — y^ X -H xj' — yx\

i -4- c^-h a(a'- bc) + 6(a(?-h b)

LIVKE I. — CHâPITKB I.

= aaSa!'

H- ihVh"- ab*- a'h'^-cfV",

- 1 4- a^ -f- 6' + c»-T- (aa'4- 66' 4- ce'/.

OÙ (k)9 = XX' -h /i/x' + w'.

b* -i- c* -h d* — Sabcd

— 2 «'6'— la^c^—ia-d}

— 26'c?' — 26*rf»— ac'rf'.

c" V b oT

ab'c^ -^a&V' -ha'b^c ^a'ch ^a"bc' -^a^'cV -^c^b'^d'—i^c'V -^(^'lf&-^a''(fV-^arb'c'''-<fc'V '¥a"b''c-^arcrb'hcrb(f —oTcb' -^ aV (f -- ac" \f -\-cfb& ^cfcV -vaVc" --ac'b" -^-c^b'c ^dd^h.

aa' a!' -f- a 66' 6" — ab^ —a'b''-- tfV' 4- c»(6»— a^a") -4- c''(6'»— if a] H- c"=^( 6"»— aa!) -r- 2c'c''(a6- 6' 6'; -i-2c''c(a'6- — 6''6) -+.2cc'(a^6''- 66'; .

52. Règle de Sarrus pour développer les déterminants dn troisième degré. — Le savant et modeste proresseur de la

PBOPBIÉTfiS GÉIfÉRALES DES BÉTBBIIINÀNTS. 33

Faculté de Strasbourg a imaginé un moyen pratique d'écrire immédiatement le développement des déterminants du troisième ordre. Son procédé, fort simple, se trouve exposé dans les Éléments d'Algèbre de Fincï, a* édition, 1846, n^ 52, p.gS. Nous le ferons comprendre, en rappliquant au déterminant

fli bx Cl

as 62 Ca

«s fcj Cj

Sous les trois lignes de ce déterminant, on répète d'abord la première, puis la seconde ligne; on obtient ainsi le tableau suivant :

a\ b^ Ci

ai 4, C2

Gx 61 ^1

€h Ot Cl

On forme ensuite les six produits des éléments disposés trois par trois en diagonale, en prenant avec leurs signes les trois produits dont les diagonales vont, en descendant, de gauche à droite, et avec un signe contraire les trois produits dont les diagonales vont, en descendant, de droite à gauche. On trouve ainsi le polynôme

fli bi Ci 4- «2 63 c, -h «3 61 Ca — Cl bi «s — Ct 6s ai — Cs 6, ai,

qui n'est autre que le développement

ai 6, Cj — ai 63 Cï H- ai 63 c, — Ot 6| c» -+- a^ 6, c, — as 6iCi

du déterminant proposé.