CHAPITRE IL
COMBINAISON ET PROPRIÉTÉS DES DÉTERMINANTS SATISFAISANT A CERTAI'NES CONDITIONS.
§ I. Addition et soustraction des déterminants. — § II. Propriétés des détei^ minants ayant un ou plusieurs éléments égaux à zéro. — § III. Calcul abné^ des déterminants numériques et algébriques.
§ I. — Addition et soustraction des déterminants.
56. Théorème I. — Dans un déterminant, lorsque les éléments d*une ligne ou d'une colonne sont chacun la somme de deux éléments, le déterminant peut se décomposer en une somme de deux déterminants.
En effet, le déterminant
a, -f- «i fr, c,
«a 4- «a 6a Ci
ai H- «3 6j Ci
étant ordonné suivant les éléments de la première colonne, peut s'écrire (42)
A = {at-hax] [bid) — (a, -h a,) (6»Cs) -f- (ûa -+- a») (6,Ca';
or le second membre peut se décomposer dans les deax
parties
aiihiCi] — fls(6, Cs) -f- «3(6,0,) I
et
«1(6^^3) — (Xj[biCi] -h «3(61^»)»
COMBINAISON £T PEOPMÉTÉS DES DtTBIllIlNANTS, ETC.
qui sont respectivement égales aux deux déterminants
ai 61 Cl
Os bj Cj
a, bi Ci
et
«1 fri c,
^3 &2 Cs
«3 63 Ca
donc on a
Ui -h ai bi Cl Oi -*- a» 6, Ca as H- «3 6, C3
Oi bx c,
^3 62 Ci
Os b^ C3
«1 6| Cl
as 63 C5
La décomposition se ferait d'une manière analogue, si les éléments de toute autre colonne que la première, ou si ceux d'une ligne quelconque étaient chacun la somme de deux éléments.
Si les éléments d'une ligne ou d'une colonne étaient chacun la différence de deux éléments, le déterminant pourrait se décomposer en une différence de deux déterminants.
