On verrait de même que
ai-f-
ai — a', bx
a^-^- at — a j 6, c»
«s-f-as — «3 *s ^3
ai 61 C|
a, bx
a^ bi Ci
oci bi
a, 6a Ci
Cs
«3 As C?3
ique.
«1 -Ha, fc| — (3i f 1
«1 bx Cl
ûi -h aa bt P, Ca
bi i
ai bi Ci
ûj-fa, ^3 Pi Ci
aj
ft, <
ûa
aa Pa Ca
«3 Ps C3
58. Théorème IL — Réciproquement, lorsque deux déterminants ne dijffèrent que par une ligne ou par une colonne.
LIYRB I. — CHAPITRE II.
ces deux déterminants peui^ent se composer en un seul déterminant.
Considérons les deux déterminants
ai 6| C| a^ bi Cj
«1 Pi y.
a^ bi Ci ai 63 Ci
qui ne diffèrent que par leurs premières lignes; on peut les ordonner suivant les éléments de ces premières lignes [tô
et les écrire
A =a, (6a C3) — b^{a2Ci) -f 0,(0,63), A' = «,(6203) — (3, (OîCa) H- 7.(0263).
Ajoutant ces deux expressions dans le sens vertical, on obtient
A-f-A'= (a» -4- a,) (62 C3) — (6, -4- PO (o^Ca) -i- (c, -4- y,) (ai6, ,
ou le déterminant
ce dernier est donc égal à la somme des deux déterminants
proposés.
La différence des deux déterminants donnés A et A' serait
de même
ûi — «1 6, — Pi Cl — y,
Qi 63 Ci
a, -t-ai
Ci-t-y,
Oi
ai
On reconnaît» à l'aide de ce principe, que les deux déterminants
sont égaux et de signes contraires; car on a, en ajoutant les
COMBINAISON IT PBOPRIÉTÉS DBS DÉTBBIIINANTS, ETC.
premières colonnes,
a a b a' af b'
ci' a" V
d'oùroniîre A=:— A'.
De même les deux déterminants
ûl
ûî
Ot
Ct
Cz
Ct
sont égaux et de même signe; car, puisque
il vient
bi
Oz
Ct
at
Oa
ai
d'où Ton tire A = A'.
59. Théorème III. — Lorsque les éléments d'une ligne ou d*une colonne sont égaux à la somme des éléments corres^ pondants de deux ou de plusieurs lignes ou colonnes, multipliées respectivement par des facteurs constants, le déterminant se réduit à jséro.
En effet, on a, par exemple (56},
ffifl, -+• nbi ai 6| mCi -f- nb^ fla bj mai + 'i^a a^ b^
mui Ux bx mUi Oi bi ma^ a^ 63
nbi ax bx nbi a^ bi nbi az 63
* or on sait que (26)
mai ci\ b\
mai a-i hi
ma^ ai 6,
nbt ai bt
nbi a^ bi
nbi Oi Ô3
LITEB I. — CHAPITRE II.
rrr n
di «1 il
a^ a^ bj
Os Oi bs
bi ai 6,
bi a-i b,
bi a, bi
donc le déterminant proposé, qui est la somme de ces deux ■déterminants, se réduit à zéro.
60. Théorème IV. — Un déterminant ne change pas, lorsqu'on ajoute à chaque élément d'une ligne ou d'une colonne ceux de plusieurs autres lignes ou colonnes^ multipliées respectivement par des facteurs constants. (Jacobi, Journal de Crelle, t. 22, p. 371.)
Car les deux déterminants
tfl
bl
Oi -f- mbi -4- nci
bl
a, -h mbi -4- nCi
Oz
a^ -f- mis H- nCi
ayant pour différence le déterminant (56)
mbi -+- nci bl c, mbi -r- fiCi bt Ci
mb,
ne.
qui est nul en vertu du théorème précédent, sont égaux entre eux.
Si les éléments de la colonne ou de la ligne que Ton remplace avaient été multipliés par un facteur k avant leur augmentation, le déterminant eût été multiplié par k (27).
