ÉLÉMENTS ÉGAUX A ZÉRO

63. Dans l'évaluation des déterminants, on rencontre des exemples dans lesquels un ou plusieurs éléments sont égaux à zéro. Celte particularité permet de simplifier leur développement et d'en calculer la valeur avec plus de rapidité. On s'appuie dans ce but sur les principes suivants.

64. Théorème I. — Lorsque, dans un déterminant^ tous les éléments^ moins un, d*une ligne ou d'une colonne viennent à s'annuler, le déterminant se réduit au produit de Vêlement conservé, pris avec le signe convenable [hh), par le déterminant mineur, que Von obtient en supprimant la ligne et la colonne qui contiennent cet élément.

En effet, nous avons trouvé au n"" 42 que le déterminant A(^) du quatrième ordre, étant ordonné par rapport aux éléments de la première colonne, peut s'écrire

A(*> = a, A.^ — a, Aa, -h ^3 A., — a* A«,;

si les éléments de la première colonne se réduisent à zéro, sauf l'élément ai, on aura «,= 0, as = o et «4 = 0; il viendra donc

Si l'élément, qui est seul différent de zéro dans une colonne ou dans une ligne dont tous les autres éléments sont nuls, n'est pas le premier élément du déterminant, on peut le ramener à la première place par des permutations successives de deux lignes et de deux colonnes (21).