a=:^ + 3(xj>)% 6=j-+-(3x»j
pz=3{axjrY,
En faisant tourner les axes d'un angle de 4^° autour de Torigine, on reconnaît que la développée est aussi une astroïde (n*»232).
i 6ifc(6»— 8a')^ 07 , 6d=(6» — 8^M
e«= ^ -^ -=log ^—7 '
et enfin
a = aIog , ô—
l8a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Celte courbe a été nommée logarithmique j^ar Huyghens, qui Ta étudiée [De* causa grai^itatis^ Opéra reliqua).
d*OÙ
, 6db(6»— 4a»)* 6(6»— 4a')'
a = a log î — '- q= -i Y-^ — '-
La chaînette est la courbe que figure un fil homogène pesant, flexible et inextensible, et dont les extrémités sont fixes. A Torigine du Calcul diflérentiel, les géomètres s'en sont beaucoup occupés, notamment Leibnitz, qui la construisit au moyen de la logarithmique (n° 270), et Jean Bernoulli, qui en donna le premier Téquation et les propriétés
principales.
6 = — - 9 a = — a loff ^—^ ;
d'où
La chaînette est donc la développée de la tractoire (n° 473).
La traotoire ou tractrice est la courbe décrite par l'extrémité d'un fil inextensible et sans masse, situé dans un plan horizontal, et dont l'autre extrémité est tirée le long d'une ligne droite. Il faut ajouter que la vitesse acquise du
SOLUTIONS. l83
point mobile est incessamment détruite par la résistance du plan, ce qui revient à supposer le flottement infini. Leibnitz a démontré que la portion de la tangente à cette courbe comprise entre le point de contact et la droite directrice est constante, d*où le nom de courbe aux tangentes égales donné à la tractoire. Huyghens en a fait Tobjet d'intéressants travaux-, Clairaut Ta beaucoup généralisée en prenant une ligne quelconque pour directrice.
273. En faisant usage des formules (c) et (/i) de ce paragraphe (p. 178 et 179), et posant
on a
Il en résulte que la développée est une spirale logarithmique égale à la proposée \ elle se confond d'ailleurs avec le lieu des extrémités de la sous-normale polaire.
La spirale logarithmique peut être à elle-même sa développée. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que Textrémité du rayon r^ aboutisse à la courbe. On doit donc avoir en même temps, puisque les deux rayons r et ri sont perpendiculaires ,
ae", Ti = ae*
Comme on a de plus r = «Ti , la condition cherchée revient à celle-ci :
oLzzze ** ou a*=:e
Il faut et il suffit qu'on puisse déterminer un nombre entier h satisfaisant à cette équation.
Cette courbe se reproduit de plusieiurs autres manières :
l84 CALCUL DIFfÉREKTlEL.
sa développante, ses caustiques par réflexion et par réfraction en supposant le point lumineux au pôle, le lieu du pôle d'une spirale roulant sur une spirale fixe égale, sont des courbes égales à la proposée. Ces propriétés remarquables ont vivement frappé Jacques Bernoulli. A ses yeux, la spirale logarithmique n'est rien moins que le type de la constance et le symbole de la résurrection. Voici le curieux passage où il donne carrière à son enthousiasme :
« Cum autem ob proprietatem tam sîngularem tamque » admirabilem mire mihi placeat spira liœc mirabilis, sic » ut ejus contemplatione satiari vîx queam, cogilavî illara » ad res varias symbolice reprœsentandas non inconcinne » adhiberi posse. Quoniam enim semper similem et eam- » dem spiram gignit, utcumque volvatur, evolvatur, radiet, » hinc poterit esse vel sobolis parentibus per omnia similis » emblema : simillima Jilia matri,.,, Aut, si mavis, quia » curva nostra mirabilis in ipsa mutatione semper sibi con- » stantissime manet similis et numéro eadem, poterit esse » vel fortitudinis et constantiae in adversitatibus, vel etiam » camis nostrae, post varias alterationes et tandem ipsam » quoque mortem, ejusdem numéro resurrecturae symbo- » lum \ adeo quidem ut si Archimedem imitandi hodie nunc » consuetudo obtineret, libenter spiram hanc tumulo meo » juberem. incidi cum épigraphe : Eadem mutata resurgo. » [Acta eruditorum, ann. 1692, p. 212.)
Descartes s'est occupé le premier de la spirale logarithmique. Il la définit par la propriété que possède le rayon vecteur de faire un angle constant avec la tangente.
274. Soit (f l'angle du rayon vecteur avec la tangente en un point de la courbe 5 l'équation revient à celle-ci :
tang(p==: 5
SOLUTIONS. l85
par suite,
(i) /?=: rsin<p = (r» — û')S
et, en vertu de la formule (c), p. 178, (2) p^=r^—a\
Rapprochant ces résultats des formules (rf), p. 1 79, îl vîent
pour l'équation de la développée, laquelle est évidemment un cercle.
On reconnaît d'ailleurs, dans l'équation proposée, l'équation différentielle de la développante du cercle.
