L'épîcycloïde étant représentée (n° 234) par les deux

équations

Ifl H- ô xz=(a -h b) cost — ^ cos — r — /^ y j- = {a -^ b) sin t — b sin — - — /,

on en tire

dx , , , a-if ib ^ at

--- := 2 ( fl -h 6 ) cos ; / Sm r )

dt ib 7.b

dr , ,,. a->r7.h , at

, -^ = 2(a -4- c>) sm ; — f sin— 75

\dt ^ ' 2 0 ^b

dy a -^ ^b d^x a H- 2 6 1

— =tang ^ ^ — 46(« + ^^) ,« + 2^» . ««'

^ ^ ' cos* ; t sm — r

Par suite

Y* a-\-ib 7.b 2£>*

[ y a-^ib ib 26

De là et des équations (i) résultent les relations

(4) p= 7— sin— -9

a =: 7 ; cos t -\- cos r t ) ,

ab / a -h b . , a -^ b \

6 = r — - — sin t -f- sin — ; — t .

SOLUTIONS. iSn

Il suffirait de remplacer b par — b pour avoir les formules qui conviennent à Thypocycloïde.

Les équations (5) représentent la développée demandée 5 on voit qu'elle est aussi une courbe du genre épicycloïde. En changeant d'axes rectangulaires sans déplacer l'origine , on peut mettre les équations (5) sous la forme des équations (i).

L'équation (4), qui donne la valeur de p, peut s'obtenir presque sans calcul en employant la formule (p. 178)

rdr

p=- (no 277).

Pour cela, il est nécessaire d'avoir une relation entre rel p. Or on tire d'abord des équations (i) et (2)

x* -4-7» = 7^ = a» -4- 4^ (a -f- ^)sin*— 5

X dy — Y dx a t

— '^—~ =2 a4^^){a-f- 2^»)sin'-7.

dt ' ^ '7.0

ds . , at

— = 2 (a H- 6 ) sm — r :

dt ^ ' ^b

puis

xdy — ydx , . . , at

p ::= — : ; = ( a + 2 6 ) sm — 7- ?

'^ ds '2.0

et enfin

^^) P- pï^-TT) '•

relation qui, diflerentîée, conduit immédiatement à l'équation (4). Cette relation (6), qu'on peut regarder comme l'équation de Tépicycloïde, est d'un emploi commode dans plusieurs cas (n^* Wl et 489).