L'équation proposée peut s'écrire
en supposant les courbes rapportées à des coordonnées polaires dont O est le pôle, et désignant par (îj, d,, . . . , cJ„, A les rayons vecteurs des points Ai, A,, . . . , A„, M.
Les quantités d ainsi que A sont des fonctions de l'angle que fait la transversale avec Taxe polaire^ en différentiant deux fois l'équation (i) par rapport à cet angle, il vient
D'un autre côté
COSa= j, - rzr ^
d'où
I S'-hnS'^ — SS"
de même
I A' -f- 2 A'» — . AA*'
Rcos^p A^
Donc, en tenant compte des équations (i) et (a),
pcos'a ^0 ^j d^ Rcos^fA
Ç XIV. — Géométrie à trois dimensions.
Formules relatives aux courbes gauches. — En un point m{^x^yj z) d.*une courbe on peut concevoir trois lignes droites rectangulaires entre elles, savoir : la tangente, la normale principale et la perpendiculaire au plan osculateur. Sur chacune de ces droites il existe deux directions différentes : Tune est définie par les cosinus des angles que fait cette direction avec les directions positives des axes coordonnés, et l'autre, qui lui est opposée, par ces mêmes cosinus changés de signe. Pour abréger, nous appellerons cosinus directeurs d*une droite ou d'une direction quelconque ceux qui définissent ainsi une direction convenue*, et ces mots ; la direction (a, i, c), désigneront celle que déterminent les cosinus «, £, c. On pourra même souvent substituer à ces cosinus des quantités qui leur seront proportionnelles.
Quelques-uns des résultats exprimés par les formules qui suivent seront démontrés dans ce paragraphe.
a, ^, c, cosinus directeurs de la tangente;
X, fx, V, cosinus directeurs de la normale principale;
a, 6, 7, cosinus directeurs de Vaxe du plan osculateur
ou simplement de Vaxe; «, angle de contingence ou première flexion; u^ angle de torsion ou seconde flexion; p, rayon de courbure; /•, rayon de la seconde courbure.
( «2 -f- ^2 -+- c» — I , X2 H- fi» -H v' = I, a' -f- e* H- 7^ = I ; j «a -f- ^6 -4-^7 = 0, aX-4- ^fA-4-cv-— o, aX + 6|x H- «yv = 0.
iga CALCUL D1FFÉ1LE14TIEL.
Ia = ^v — c^y Qz^cX — ûT», y=zatt — bX; X = 6c — 7^, iiz=ya — ac, v=OLb — 6a; a = fty — v6, b = VOL — Xy, c = X6 — yia,
dx djr dz
ds ds ds^
6) Cl) G>
djrd^z — dx d^y dz d?.v — dx d}z dx d^y — dyâ>x
vPds tà!^ds f^^ds
v*^) U ds ds
__ [(^r/»j ~ dfj <f»^)» H- (^r<^2? — dzd'xY ■+• [dzd^x — dxd-zy]\
r ds
dx [d^x d}z — d^z cPjj + dy [d^z d}x — d}x d}z) -f- dz [d^x d*y — d})' âx)
"" [dyd'z — dzd'yY + (é/z é/^or — dxdz'Y -f- (^^r — ^/^-^l'
(/) X=:^ = -£î, .^^^^, v = -=-^ (no282),
[q) dXz=i(jLU — ûw, diL= ^u — 6w, é/v = 7 M — c« (n** 284)«
Les formules {f) jouent un rôle assez important dans l'étude des courbes à double courbure. On peut remarquer que Tune quelconque des égalités
n'est que l'expression analytique de ce théorème :
da dx
db d^
de dy
Oi u
« Le rapport des flexions d'une courbe en un point est égal au rapport des accroissements que subissent, en passant de ce point à un point infiniment voisin, les cosinus des angles d'une droite quelconque avec la tangente et l'axe du plan osculateur (*). »
Plusieurs des formules précédentes se simplifient quand on prend l'une des coordonnées pour variable indépendante. Si, par exemple, cette variable est x, en posant pour abréger
v/i-Hj'*H-3"=D,
on trouve
fyo + z'z y-z'f.r'î"— z'r»),
z''+y(r'»''-»V) ~ iv '
« = P D^ ' «=-Pd'' ■^ = Pd«'
(ïz"-
(*) Dans le Traité de Calcul différentiel de M. Bertrand, les formules {h\ «ont désignées sous le nom à^ formules de M, Serret. C'est là une dénomination erronée, comme l'a reconnu M. Bertrand lui-même {Rapport sur les progrès les plus récents de l'Analyse mathématique y 18^7, p. 27). Le t^iéorème cité dans le texte, et qui, sauf la notation algébrique, est identique aux formules (A), a été donné par l'auteur du présent Recueil dans une Thèse ilnprimée à Toulouse en 1847; '® travail de M. Serret sur ce point n'a paru que trois ans plus tard. De plus, un développement de la Thèse renfermant ces formules et plusieurs de leurs conséquences avait été mis, dés la fin de 1847, entre les mains de l'illustre rédacteur du Journal de Mathématiques (iw/r les Nouvelles Annales de Mathématiques, 1864, p. 284).
Freset. — Recueil, I 3
ig4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Il est quelquefois commode de calculer r par la formule
281. 1** Soient j:, y^ z les coordonnées d'un point M de la droite D^ Xi, j^i, Z| celles d'un point Mi de la droite Di, et posons
jr, — a, Xi — bx Zi — c,
La condition du minimum donne la relation
{x -- Xi)dx -h (x ^ rt)dX -H (z-~z^)dz = (x — xx)dx^ 4- [x — /i)4ri -4- (a — Zi)û?ai.
D'ailleurs,
dx •=. çf.dh^ dx '==-^dh^ dz •=-*>idh^ dx^ziz cL^dhx ^ ^, = 6|^A|, dztz=zyidhi\
d'où, à cause de l'indépendance de A et ^i ,
(3) (a:— ar,)a -f- (j— Ji)6 4-(3 — z,)7 = o.
(4) (ar — .r,)a,4-(r--7,)6,-f-(2 — Zi)7i=0,
Ces équations expriment que la ligne MMi est perpendiculaire à chacune des droites données. On en tire
671 — 761 7a» — «7» aé, — 6a,
La valeur commune de ces rapports est
v/67, — 76,)' H- (7*« — «7')' + («6. — 6a,)' " sinV
en désignant par d la plus courte distance, et par V l'angle des deux droites.
Il résulte de là que les valeurs /?, y, r des cosinus directeurs de Tune des directions de la plus courte distance sont données par les formules
sinV sinV sinV
2** On déduit des équations (5) et (6)
et par suite,
D'un autre côté,
SÛT. — jTiZzz a — a, -4- ah — ai A| ,
p(x—Jr^)-hb{Jr—y^)-hr{z—z^)=p(a—a^)-^q{b—bt)'hr{c--c^)^
en tenant compte des relations évidentes
Les relations (7) et (9) donnent enfin
$ = ±[p(a — a,) -^ q{b — b,) -h r(c — c^)], c'est-à-dire
(a— ai) (6y,— . yS.) -f- (b-^b,) (7a,— a7,) -f- (c— c.) (a6,— êa.)
sinV où l'on peut concevoir sinV remplacé par sa valeur
3° Pour le calcul des coordonnées des joints M et M,, il suflSt de déterminer h et /ij. Or, si Ton multiplie respectivement par a, 6, y les équations (8) et qu'on ajoute le résultats, il vient ,
o = a(a — fl,) -f-6(6 — i>,) -+-7(c — c.) -|- A — A, cosV On trouverait semblablement
o = a, (a — û,) -f- 6,(^ — ^i) -4- 7i(c — c,) H- AcosV — A, d'où
(lo) — h sin»V=: (« — £!,)(«, cosV— a) -f. (A — 6.) (€, cosV - e)
(c— c,)(7, cnsV— y).
Observant que le binôme a, cos V — a peut être mis sous la forme
a,(aa|-+- 66, -f-yVi) — a = 7,(7a, — 7ia) — 6,(a6, — a, 6)
= sinV(<77, — r6,), îl vient
^ (g— ^i) (<77'— ^^') -t- (^ — ^i) (^«1—7^7') -*- (^— ^i) (/^€, — <ya,) "" sinV
On obtiendrait pour hx une formule tout à fait semblable. L'analogie des expressions A et d est manifeste. Elle tient précisément à cette circonstance, facile à reconnaître par la Géométrie, que la longueur h sin V est la plus courte distance de la droite D, et d'une parallèle à la perpendiculaire commune, menée par le point (a, i, c).
2S2. Démontrons d'abord que la droite dont la direction
est définie par les cosinus — ? — » — est perpendiculaire
à la fois à la tangente et à l'axe du plan osculateur. Il suffit, pour cela, d'établir les équations
a r/a H- ^ fifÇ -h c fify = o, OLcloi -I- 6 r/o -+- 7 fif7 = o ;
or la dernière résulte évidemment de
et la première, de celle qu'on obtient en différentiant la relation manifeste
aa4- 6A -h 70 = 0,
et remarquant qu'on a
a da -^ ^ db -h y de = O
en vertu des équations données. 11 suit de là que Ton peut poser
mais il est permis de choisir pour l'angle de torsion un signe tel, que ces relations coïncident avec les équations (2).
283» Ces équations donnent
u = — (X c?a -f- iid^ -hvdy)=: 0Ld\ -f- 6 <f|x 4- 7 û?v.
De la relation
da ds d^jc — dvd^s
on tire
fùds'd\ -^\d[^ds^) = dsd^x — da:d's; on aurait aussi
ùids^dv -+- vd{(àds^) = dsd^z — dzd^s.
Si Ton multiplie par a la première de ces équations, par o la deuxième, par y la troisième, et qu'on ajoute les résultats', il vient
u^dsu = nd^x -+■ f^d^y + yd^z.
dfd^z — dzd^y Remplaçant dans cette relation a par -^^ > 0 et y
par des expressions analogues, on trouve la formule en question [formule (e), p. 192].
284. En un point M d'une courbe, la tangente, la normale principale et Taxe du plan osculateur déterminent trois plans qui forment huit angles trièdres trirectangles. Les arêtes de l'un de ces trièdres sont parfaitement définies parles cosinus directeurs a, &, c^ X, |ul, v ^ or, 6, y, entre lesquels on a les relations (p. 191 et 192)
> = 6r — 76, |* = ya — ar, v=ab — €a.
En diflerentiant les trois premières et tenant compte des formules (/) de la page 192,
(/a (1% db (I^ de ^/«y
^' b></ W« OAH
on obtient immédiatement les relations (1).
On y arriverait aussi, mais d'une manière moins rapide, en diilëreutiant les trois dernières et ayant égard aux équations (y).
Si les directions ()., fx, v), (X -h A>., fx-h A;/, v -h Av) font un angle i|^, on trouve en général
4 sin' I- = A>* -f- Au' -h Av^
et par suite
(3) \^=zd\^ 4- di»} -h d?=u^ 4- w%
puisqu'on a
aa -h 6^ -f- 7c = o.
La relation (3) est due à Lancret.
285. Si l'on convient de représenter les quantités relatives à Ml par les lettres adoptées pour les quantités ana-
logues qui se rapportent à M, en les accompagnant de Tindlce i , on a
d'où
djTi = dx -h pd\ -\-\dp^
dzx =■ dz -h pdv -\- vdp;
OU bien, en remplaçant rfA, dfi^ dif par leurs valeurs (no 284),
aidsx-=aLpu^\dpy b,dsi = ^pu -^ iidp^ c, dl^i = yp tt -f- v ^p .
D en résulte
aOi •+- bby -\- cCi — 0,
Aa, -+- uô, -h vc, — —^5
^ dsx
ù u aa, -f- 66, -f- 7c, — ^5
dSx
et par suite
ds\ dp^-hp'u^>
Les équations (i), (2) et (3) montrent que la tangente au lieu des centres de courbure est dans le plan normal de la courbe donnée, et fait avec la normale principale au
point M un angle dont la tangente est ^ • Cet angle n*est
égal à zéro, en général, que pour les courbes planes.
Par suite d'un calcul incomplet, Lagrange avait été conduit à ce résultat, que le lieu des centres de courbure peut avoir pour tangentes les normales principales de la courbe {Fonctions analytiques). Cette assertion inexacte ne lui serait pas écbappée, comme l'a fait voir Poinsot, s'il eût poussé ses calculs un peu plus loin.
286« Le plan rectifiant au point {Ji^^y^ z) a pour équation (p, 191)
En la combinant avec celle-ci,
on en conclut les équations de la droite rectifiante, qui sont
li(/v — V d^ V d\ — Adv X d^ — ^dï.
Remarquant qu'on a [formules (i) et (^), p. 191 et 192]
lid'j — vd^ = |*(V — ^^) — v(6tt — b(ù) ::= au -{- aw,
et des expressions analogues pour les autres dénominateurs, on met ces équations sous la forme
