X- 3? Y — x _ Z — z au -h «w bu -^ 6» eu -4- yw

d'où résulte que les cosinus directeurs de la rectifiante sont

au -f- aw bu H- 6w ci/ -f- 7w

y/a' -f- w^ y/tt^ -f- «* v'tt' H- w'

par suite, cette droite fait avec la tangente un angle dont le cosinus est égal à -=^z:= • Si doiic on prend sur cette tan-

gente à partir du point M une longueur MA = p, et qu'on mène par le point A une parallèle à Taxe du plan osculateur, cette parallèle rencontre la rectifiante en un point B tel, qu'on a

AB = — = r.

287. Le plan normal au point (x,j^, z) de la courbe a pour équation (p. 191)

(,) (X-^)«-t-(Y-j)£»-f-(Z — z)c = ]\=ro,

et la recherche des coordonnées du centre de la sphère osculatrice revient à déterminer les valeurs de X, Y, Z qui satisfont au système

(2) N = o, ^N = o, rf»N=:o,

les différentielles étant prises par rapport à une variable indépendante dont toutes les autres variables sont des fonctions. La seconde équation de ce système prend la forme

r-, V da ,,, . dh ,„ .de

et la troisième revient à

(4) (X-.)rfJ+(Y-r)^^ + (Z-.)rfg = o.

Les équations (i) et (4) donnent immédiatement X — ^ Y— 7 Z — z

, ,dc db da de .db , , du

bd-- ed-rr- cd— ad-—- ad— bd—-

ds ds ds ds ds ds

1 bde — cdb\ fcda — adc\ 1 adb — bda\

Or on a [formules [f)^ p. 192]

bde — cdb bv — cy. a ds p p '

a pdoL — ixdp pu}\.-\- adp

De là, et d*autres transformations analogues, on conclut

X—x Y— y Z—z pul-^-adp pupi.-h^dp puv-^ydp

a02 CÀI^UL DIFFÉBEATIEL.

D'ailleurs l'ëquation (3) peut s'écrire

(X-x)l + (Y-/]p + (Z-.l. = fi par suiie, les coordonnées ç, », !^ de m et le rayon R de la sphère osculatriee sont donnés par les formules

^ — .r — pi ^ — j- — pfi ; — z — p* ^-Jf ^

a e ■} <ll

X- 3? __ Y — x ___ Z — z au -h «w bu -^ 6» eu -4- yw

X- 3? Y — x _ Z — z au -h «w bu -^ 6» eu -4- yw