Les formules (rf), (e), (f) de la page 192 donnent
les relations
da dx
" ds ds
db d^
* ds ds
elc dy
• ds ds
d'où, en désignant par A, B, C des constantes arbitraires,
(i) pa-t-ra = A, p^-4-rS = B, pc -^ ry =:C,
On déduit de là sans difficulté
AA-+-Bu-t-Cv=ro, Aa-+-BAH-Cc = p, Aa-f-B6 +C7 = /.
Ces dernières équations montrent qu'il existe une droite fixe, perpendiculaire à la normale principale de la courbe, et faisant des angles constants avec la tangente et Taxe du plan osculateur. Les cosinus directeurs de cette droite sont proportionnels à A, B, C, et si l'on suppose qu'elle soit prise pour Taxe des ^, on a
A = G, B = o, d'où résulte
(i) pa -h ra=zo^ p6-l-r6==o, v = o.
On trouve aussi c constant, ce qui devait être (n° 288). Si l'on observe qu'en général
a = bv — cp, 6 = cX — avj les équations (i) nous donnent
paz=: cry. , pb =z — cr\ ,
OU bien
dh da
a=:cr—-y b z=z — cr —-^ ds ds
ao4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
OU enfin
dy dx
dx =r crd -p-» dy = — crd ---' ds ' ds
On tîre immédiatement de là, en désignant par Xq et Jj deux constantes arbitraires,
djr dv
x — T.z=zcr -—^ ^—jo = — cr--, ds ds
et par suite,
{x — x.)dx'Jt- (/— jo)^ = o;
par conséquent
(.r — x^y -f- (r — Jo)' = const. , équation qui représente un cylindre à base circulaire.
290. Désignons toutes les quantités qui se rapportent au point Ml de la deuxième courbe par les mêmes lettres adoptées pour les quantités relatives au point M, en les accompagnant de l'indice i. On a (p. 191 )
On en tire
dx^ :=. dx -\- hd\^ dy^ = dy -h hd^iy dz^ z=: dz -\- hd^^
ou bien
aidSiZ=ads -\- hctXf bidSi= bds -h hdiiy CxdSi = cds -{- hd^t.
Il en résulte
-, ds — koi
aai -f- obi •+- cCi = -: — ; .
du
Telle est la valeur du cosinus de T angle que fait la tangente en Ml avec la tangente en M Quant au cosinus de 1* angle que la première tangente fait avec la normale principale en M, il est égal à zéro, puisqu'on a
On trouve enfin, pour le cosinus du troisième angle cherché,
D'ailleurs, la somme des carrés de ces trois cosinus doit être égale à i ; d*où résulte
ds, = sj(ds — hf^y + k'^u^ =ds Mi — -V-f- ^T.
291. I® Conservant les mêmes notations que dans le précédent numéro, il faut et il suffit que la tangente en Mi soit perpendiculaire au plan normal en M, ce qui exige qu'on ait
ou bien
c'est-à-dire que la courbe soit plane.
2** Les cosinus directeurs de la normale principale en Mi
sont
et a y dby dcy
ttii oi>i eù|
il faut et il suffit que sa direction soit perpendiculaire au plan rectifiant en M (n*^ 286), ce qui conduit à chercher la valeur du trinôme
a dtti H- 6 dbi -H 7 dc^*
Or on a (n°290)
dsy
par suite,
{hu\ a da^ -f- 6 db^ -^ 'i dcy -h a^dx -\- h^d^ -\- c^d^i z=z d ( -7- ) ;
\dsx)
et en vertu des relations [f) de la page 192
dx^=: — \Uy d^ -= — au y c^7 = — vî/,
206 CALCtIt. DIFFÉHENTIEL.
la dernière équation se réduit à
arfti, + idb,-h fdc.-^d ( -T— I ;
]a condition cherchée est donc exprinsée par d'où l'on lire (n" 290)
h désignant une constante.
Ce résultat est dil à M. Bertrand.
292. En prenant X pour variable indépendante et posant p*+ 20:'=^ m*, on obtient les résultats suivants :
La dernière équation fait voir que la courbe est du genrf bélice (n°288). On peut la concevoir tracée sur un cylindre dont la génératrice est parallèle i la droite qui a pour équations
la tangente faisant avec cette droite un angle de 4^- Si l'on cherche les cosinus directeurs de la droite rectifiante (n" 286], on reconnaît qu'elle se confond en chaque point avec la génératrice.
Si Ton met la première des équations (i) sous la forme
as = <-—- -h — — = — ^3 -h ^/ ,
on en conclut s = j^ — z^ pourvu que Ton convienne de compter les arcs à partir du point pour lequel z =y.
293. La variable indépendante étant X, on trouve pour Tëquation du plan normal
Xj2 — Yzx — Z.ry 4- xjrz = O ;
pour celle du plan osculateur,
et pour les rayons de courbure,
^ "" («'— b^f'x'-hb*j^-\- a<^«'
'5a^ù'^[a — b^]xyz
