La variable indépendante étant z, on a (p
yx =zp — z, f xz^ip-' 2,
afl f 2,,2 x'f — /x'^ or' a:" -4- yf
j. y j.iy.% — p xx^ -\- y y'
X{p^z) ~y[ip'-'Z) "~ XJ "" y'jc2(^ z)2 4^-i ^2/7 — zy -f- OT-'/»'
On déduit de là Téquation du plan normal et celle du plan osculateur. La dernière, qui prend la forme simple
Xj — Yx 4. (Z — z)p == o,
fait voir que toute parallèle au plan Xj^, menée par un point de la courbe dans le plan osculateur, rencontre Taxe des z.
ao8 CALCUL DIFFËnEIfTlEL.
On tire aussi des mlîaKis foriaules
el par suite, en iL-iiaiit compte des relations (2),
P On peut remarquer que IV-Iement de j'arc
se simplifie quand on élimine p de la quantité placée soi II- radical. O 1 a, en efl'et, en désignant celte quanlilé pan et ayant égard aux équations (i),
ce qui conduit à poser x +,z = »; il en résulte
et par suite, à cause de la relation [x+y){z+X — y)=py
dz
-v'(.>-+7-H^)'+xr
En posant^ = Ix, on voit que la courbe est unicursale et du troisième degré (item, du n° 245). Elle est d'ailleurs un cas particulier de l'interseclion de deux liyperboloides ayant une génératrice commune. Si l'on prend cette génératrice pour axe des ^, el pour axes des x et des j' des génératrices appartenant, dans chaque surface, au système dillereiil de celui dont fait partie l'axe des z, il résulte immédiatemcni des équations obtenues que l'iuiersection est
SOLUTIONS. a 09
unicursale et du troisième degré, d'où le nom de cubique gauche par lequel on la désigne ordinairement. Observons que si Ton en cherchait les projections sur Tun des plans coordonnés, on trouverait généralement une courbe du quatrième degré, puisque chaque hyperboloïde est du second. Cette circonstance tient à ce que Tintersection complète renferme à la fois la cubique gauche et U génératrice commune. Généralement, si m et /i sont les degrés des deux cylindres qui projettent une courbe parallèlement à deux des axes^ leur intersection complète étant du degré /71W, il en résulte qu'elle renferme nécessairement des points étrangers à la courbe si le degré de celle-ci est un nombre premier.
La cubique gauche jouit de propriétés dont les plus importantes ont été données par Chai^les. M. Cremona [Non\f. Ann, de Math,, 1862) en a fait l'objet d'un travail remarquable et très-instructif.
