P^g* ^6-) Soient M un point du lieu, H et K les

points fixes dans le plan xj^ C le milieu dp HK, O le centre de la sphère dont on suppose le rayon égal à i , MP un arc

Frk:(et. — Recueil.

de grand cercle perpendiculaire à HK ; on a de plus

MH 4- MK = 2/?, HC = CK = ^, BiP = e, CP = (p.

L'angle P étant droit, la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique donne les relations

cosMK = cos0cos(^ — <p), cosMH =:cos9cos(<7 -+-7);

d*où l'on tire

MH — MK cos 0 cos «y COS7 cos = — >

2 COSp

. MH — MK cos 9 sin (p sinq

sin = : î

1 smp

par suite,

« /cos^'? , sin'<7 .

I = cos'0 cos'^y H- -1—;- sm'a

\cos'/7 sin 7?

Or il est facile de voir sur la tigure qu'on a

jr = cos 0 sin <» , j^ = COS0 coS(p; par conséquent

sin'^

sin^j? ces'/?

Si le rayon de la sphère estR, la projection de la courbe cherchée sur le plan xj a pour équation

sin^/>» cos'p

la courbe résulte donc de l'intersection de la sphère avec un cylindre.

En combinant la dernière équation avec celle de la sphère,

(1) jc» -t- j2 H- z^ == Rî,

SOLLTIOAS. 311

on en déduit

cos* g x« 4- ( I — tang*/i cos' q )x^ 4- 3* = R' cos'/?, ou bien

[1] Pj^-t- /7l*7*+ /l»Z»= I,

en posant

cos' 7 , 1 — tiing'ocos'ûr . I

R* cos'/? R'' cos'/? R' cos*/?

Si Ton prend x pour variable indépendante, on tire des équations (i) et (2)

,.,. y //^ (/»-m')(/*-.20(,~/^RM.r^

,. . . ,,3a:(/i»-/-0(/7^'-/^)(i~/*R')(i--m*R-)(i-/i»R') De ces résultats, on déduit pour l'équation du plan normal

pour celle du plan osculateur

m^'-ti' ^ ^ 72'—/' ^ •^'

et pour les raj ôns de courbure

lia CALCUL DIFFÉIIEMTIEL

___[(/«x»-|-m«7»-f-/i«z»)Il'- i]^

(/»— m>){m>— 7i»)(/ï»— P)n' '''"3xr2{/'R>— i)(m^R«— i)(/i'R» — i)'

où Ton a fait

La courbe dont on vient de s'occuper est r ellipse sphérîque. Pour étudier les courbes tracées comme celle-ci sur la sphère, il est avantageux d'employer un système de coordonnées pris sur la sphère même. Consulter à ce sujel le Journal de Crclle, t. VI et XIII; les Transactions philosophiques, t. XII; les Nouv^clles 'annales de Mathématiques, t. VI et VU, et divers travaux de MM. Chasles, Gudermann, Borgnet, etc.