Des relations données par l'énoncé

x* H- ^' H- «' = R', arc sin — = /i arc tang - »

on tire, en posant p*=T\} — z* = R' cob* n 0,

(i) x^ir 4- /^ -f-afib = o, nydx — nxdy -\-pdZ'=-(i^

et par suite

. , dx dy dz ds

^py — nxz pT^nyz np^ p^K^n' + p'

Ces équations déterminent les cosinus directeurs a, i, c de la tangente à la courbe, et aussi l'équation du plau normal qui peut s'écrire

(«tang/îôcosÔ-f-sinôjX-f- (/î tang /lô sin ô — cos0)Y = /ïZ.

Si l'on prend z pour variable indépendante, les équations (i) deviennent

x.r' 4-^7 -«-2=0, nyx^ — n/x + pz= o,

80LVTI91IS. 2l3

et Ton en déduit, en faisant pour abréger ^/R'/i*-!-/?' = Ri', /l'/j* af = npyz ^ — R' f ' x, n^p^y" = — npxz — R* t'*^*,

Ces relitions donnent les cosinus directeur» a, 6, 7 de Taxe du plan osculateur, et, pour Téquation de ce plan,

«(/îx«-f-R»»^"sin0)X + /i(/ij2 — R»»^»cos0)Y

On tire des mêmes relations, en exprimante en fonction de 1^,

= R*[(i— /i')c'*-h«''(«^4-2)i/'+/i*(/ï»-f-l)J; et comme on a d'autre part, d*après les relations (2),

I np

il en résulte

/* de

Pour calculer - = > observons qu'on a d'abord

p dy *

puis, si l'on représente le dénominateur de p" par II',

ny=z (i — /^»)l'^-^/2»[/^*^-I),

On déduit de là

par suite,

^__R'(/î'+ COS'/20)»

w cos/iÔ (i — «'3 cos'/iô H- 2/2'(/î'-h 2)

2l4 CALCIJL DIFFÉRENTIKL.

OÙ H représente l'expression

(i — /i*)cos*/îô — /i'(/i'— 4)cos*/îô+./î<(/ï*-f-4)»

Si 7Z = 1, la courbe est TintiTsection de la sphère donnée et du cylindre dont IVquatîon est x*-hy*= ax\ on la rencontre dans le problème célèbre de Viviani (n** 510). Pour ce cas particulier, l'équation du plan normal est

X sin r2 Ô — Y cos ti 0 = Z cosô,

celle du plan osculateur

Xsinô(2 cos' 6 4- i) — 2Ycos*ô -f- î2Z = sin0(2 -f- cos'Ô)R,

et l'on a, pour les rayons de courbure,

r— 5-h3cos>ô "" 6cos(9

Pour n = yî la courbe est l'intersection de la sphère

avec le cylindre dont la génératrice est parallèle à l'axe des z et dont la base est la courbe représentée par 1 équation

^x' 4- j^* = R ces y •

Cette interseclioîi a été étudiée par Pappus (n** 5t0)-

297. En général, la condition pour qu'une courbe, tracée sur la surface dont l'équatîon est F[x^y^z) = o, ait son plan osculateur normal à la surface, s'exprime par les relations

L'équation de la surface de révolution pouvant être mise sous la forme

on en déduit

fly dx

(2) x-^ j — = const.

^ ' ds ds

D'ailleurs, cp est le complément de l'angle que fait la tangente en m avec la tangente du parallèle, et comme les cosinus directeurs de celte dernière sont respectivement

— — , , o, il en résulte que le premier membre de

Téquation (2) est égal à rsincp.

Les courbes jouissant de la propriété définie par les relations (1) sont dites les courbes géodésiques des surfaces sur lesquelles elles sont tracées. En particulier, l'équation r sin C5 = const. est l'équation des géodésiques des surfaces de révolution.

298. i°et2°Soienlj:,j,z les coordonnées d'un point Mde la courbe C qu'on peut appeler la courbe directrice f /, m, n les cosinus directeurs de la génératrice qui passe en M. Pour un point voisin de la courbe, les quantités analogues seront X 4- Ao:, j -f- Aj, z -f- As, l-\-^l^ m 4- Am, n -f- A/z. Les équations du n° 281 donnent immédiatement, pour les cosinus directeurs de la plus courte distance de deux génératrices dont l'angle est j^,

m^r7 — n ^m n^l — l^n làm — mil

sini' smi' sint-

et pour la plus courte distance elle-même,

^x(màn — /lA/n) -h Aj(/?A/ — lAn) -f- àz(l^m — mal)

Les limites cherchées sont alors

md/i — ndm ndl — Idn Idm — mdl

V If V

^ dx(mdn -— ndm) 4- djr(ndl — Idn) •+- dz{ldm — mdl)

ai6 ci. .CUL DIFFÉREMTIEL.

OÙ

3* Soit h la distance du point M au point cherché Mj dont les coordonnées sont X|,j^i, Zi\ on a

et par suite [n*» 273, ëq. (lo)]

dxdl -♦- dydm + dzdn

Le point Ml que cette équation détermine sur la gênétrice G a été nommé point central par Chasles, et le lieu de tous les points centraux est dit la ligne de striction de la surface réglée. Au point central se rattachent une droite et un plan. La droite est celle qui occupe la position limite de la plus courte distance entre G et la génératrice infiniment voisine, et l'on pourrait, pour abréger, l'appeler droite centrale. Le plan, que Bour a nommé plan central, est celui qui contient cette droite et la génératrice, et dont réquation est par conséquent

[m — x,)dl + {Y — x,)dm -^ [Z^ z,]dn,

ou, ce qui revient au même à cause des équations (i),

(X — xjt// -^ (Y — j)^/n -h (Z — ^z)dn = o.

Si A = o, la courbe C est elle-même la courbe de striction, et Ton voit que le plan central contient la tangente à cette ligne; ce plan est donc tangent à la surface réglée en chacun des points de la ligne de striction. Observons que la droite centrale ne se confond pas généralement, comme le pensait Lacroix {Cale, différ. etintég,, t. III, p. 668), avec la tangente à la ligne de striction. Cela ne peut avoir lieu, en effet, que lorsque cette tangente est perpendiculaire à la génératrice, laquelle est nécessairement perpendiculaire à la droite centrale.

SOLUTIODTS. 217