Soient

les équations de la génératrice D^ répondant à la valeur « 4- At de la variable. Pour trouver le point [l où la perpendiculaire commune à cette droite et à D rencontre cette dernière, on considère le plan mené par D parallèlement à D| et dont Téquation est

^n[x — mz — p]'= Am(/ — nz — q)y

A/n, A/i, ... désignant les différences m, — ni^iix — ^9 --'ï puis on fait passer par Dj un plan perpendiculaire au précédent. Ce nouveau plan, qui a pour équation

A/1 -f- 7W, ( w A/2 — n A/w ) /?, ( /w A/î — n ^rn ) — A//î

rencontre D au point |ui, dont le z est par conséquent donné par la relation

zàm-h^p z^n-^-^q

A/i -h /Wi ( w A/i — n A/w ) /2, ( //i A/2 — n Am ) — A/n

Les coordonnées du point central sont donc fournies par le système formé des équations (D) et de celle-ci :

. . zdm H- dp zdn -f- dq

[\ -{- m?)dn — mndm mridn — [\ -\- rC^dm

300. Les deux systèmes de génératrices de la surface sont donnés par les deux groupes d'équations (A) et (B),

Les équations (A) peuvent s'écrire

atz a btz b

ai8 CALCtJL DIFFi^.llENTIEL.

Appliquant ici réquatîon(Z) du numéro précédent, il vient

d'où, en éliminant z et t entre cette équation et celles du système (A),

équation d'un plan coupant la surface suivant une parabole qui est la ligne de striction de ce système. Le second donnerait une autre parabole située dans le plan représenté par Téquation

301. Les équations des génératrices de la surface peuvent être mises sous la forme [Foir Briot et Bouquet, Géométrie analytique)

— = - cosy ni sin®, — = - sin©iîicosy. a c oc'

Appliquant la formule (Z)duno 299 au système donné par les signes supérieurs, on a, f étant le paramètre variable,

z c^[b^ — rt*)sin<pcosy

b a*b'-\- a^c* sin'ç -4- b^c^ cos^f Si Ton pose, pour abréger,

A = ^4-i, Bz=z\^-, c=:-^-^ = B-A, b^ r' c* fl' «' o'

l'élimination de f entre les équations (A) conduit à celle-ci

-+- a} c^ sin^ f

cos'

sin^

aH^

-h <2*c'sin^^

cos'

b^[c^-\- rt'

)cosî>

équation d'un cône dont Tin tersection avec la surface renferme la ligne de striction cherchée.

Au lieu d'éliminer cp comme on vient de le faire, on peul exprimer rationnellement les coordonnées x^y^ z au

moyen d'une même variable ï= tang-» ce qui donne

où l'on a lait

On voit que la ligne de striction répondant aux génératrices du premier système est unicursale et du quatrième degré. [liemarque du n^2k&.) Celle relative aux génératrices du second système est définie par des formules qu'on tire des précédentes en y changeant le signe de c*. Les deux solutions du problème se trouvent ainsi données par des formules distinctes, tandis que l'ensemble des équations (i) et (2), où c n'entre que par son carré, les confond dans une même courbe gauche du huitième degré. Cette courbe, comme on le voit, n'est pas irréductible, contrairement à l'opinion de Chasles (Quetelet, Corresp. math., t. XI). L'observation qu'on vient de faire est de M. Migotti.