Si 1 on pose — = a, -f =/>»,-- = c, et qu on de
^ as as as
veloppe suivant la série de Taylor toutes les diirérenccs A qui entrent dans l'expression de 0 (u° 298), Tare 5 de la courbe directrice étant pris pour variable indépendante et A5 étant désigné par e, on a
Ax = âft -h a' h «" ^
et d'autres formules analogues pour A/, Az, A^n, l^n.
2120 CALCUL DIFFÉRElfTIEL.
Pour trouver ce que devient alors â^ il suffit, à cause de la symétrie des calculs, de considérer l'expression
qui prend la forme
2 (tS
par suite,
ê='^—(iV-\ -4-... K
smV \ 2 t/j /
où
P = a(/n/t'— /î/?i') H- ^^(/î/'— In') 4- c[lm' -- mH).
dV ,
Si cette quantité est nulle identiquement , — Test aussi,
ce qui démontre le théorème énoncé.
303. En égalant à zéro la quantité P du numéro précédent, on a l'équation
(A) djc[mdn — ndm) -hdf{ndl — Idn) -^dz{ldm — m^) = o.
Elle exprime que, pour toute surface réglée qui y satisfait, la direction définie par les binômes
mdn — ndniy ndl — Idn^ Idm — mdl^
déjà perpendiculaire à la génératrice, Test aussi à la courbe directrice au poiçit M où cette courbe est rencontrée par la génératrice. C'est donc aussi la direction de la normale en M à la surface 5 et comme elle ne diffère pas de la direction limite de la plus courte distance de la génératrice considérée à la génératrice infiniment voisine, elle ne dépend nullement de la courbe directrice et demeure la même tout le long de la génératrice. On peut d'ailleurs reconnaître facilement que cette direction est perpendiculaire à toute courbe tracée sur la surface au point fji( J, w, ^) où cette
courbe rencoptre la génératrice. On a en effet, en posant
et par suite,
£i^ = dx -{- Kdl -+- IdK^ dn-h dx -h Rdm 4- mdR^
^ -h ^3 H- R^/î -f- /îé/R, d'où Ton tire
di{mdn — ndm) -h dn{ndl — hin) -J- d^[ldm — mdl) z= o.
L'équation (A) caractérise les surfaces dés^eloppables et les définit analytiquement.
304- Prenons un point fx($, >7, Ç) sur la génératrice qui passe en M, et désignons par R la distance pM. On a
rfÇ — c/jr = Vidl H- IdK, dm — djr = R//rw-+- /n<fR, «rt; — c& = Hdn H- w^/R,
et il s*agit de prouver qu'on peut déterminer le point (i de telle sorte que les quantités rfÇ, dm^ d^ soient proportionnelles à /, /w, 71. Or la direction /, m, n est perpendiculaire à celle de la plus courte distance, et aussi à Taxe du
plan central [n^ 298), dont les cosinus directeurs sont — >
— » —5 il faut donc qu'on ait
d{{mdn ^ ndm) -J- dn{ndl — Idn) -h dl^[ldm — mdl) = o
et
d^dl + dndm •+■ dX^dn = o.
On sait que la première équation est satisfaite (n° 303)) ^^ la seconde le sera également si l'on pose
dxdl -4- dydm -4- dzdn
dl^ H- dm^ -h ^/*»
Ce résultat démontre que les génératrices de la surface sont les tangentes de la ligne de striction (n® 299)) qui prend le nom à* arête de rebroussement quand la surface réglée est développable.
La réciproque du théorème se voit immédiatement.
305. Si Ton prend l'arête de rebroussement pour courbe directrice àeldi^nridice développable (n° 304), les cosinus/, /n, n deviennent respectivement égaux à a, i, c (p. igi). Or l'axe du plan osculaleur de l'arête de rebrousseineiu est perpendiculaire à la direction (a, i, c) et à la direction (dû, db^ rfc)^ la normale à la surface l'est également, puisqu'on a la relation
djL [mdn — n dm) -f- dj (ndl — Idn) ■+■ dz[ldm -4- mdl) = o,
et l'identité dl[mdn — ndm) + dm[ndl — Idn) -f- dn[ldm — mdl) = o;
le théorème est donc démontré.
