I® Les équations générales du D® 306 deviennent ici
, , dl dm du f—- ; -—
(1) — = -— = — = i/r//' -4- dm^ -h dri" -
abc
Si Ton désigne par cp Tangle de la génératrice avec Taxe du plan osculateur au point M de la courbe directrice, on a
(2) /a -f- /116 H- 717 = cos^, >/ -♦- fxm -h v/î = sinç, et par conséquent
( 3 ) IdoL -\- md^ ~\- nd'^ -\- cLdl -h ^dm -\- ydn = — sin y d^.
Transformant ce résultat au moyen des équations (i) et des formules connues (p. 192),
- r/a d^ dy
il vient
dvf = u.
Telle est la relation nécessaire qui régit les variations de Tangle que fait la génératrice avec Taxe du plan osculateur.
2° La relation d z^ = u étant supposée exister, la surface est développablc. En effet, si l'on en tient compte ainsi que des forjuules (2) et (4), l'équation (3) se réduit à
otdl -h P dm -^ '^dn ==1 o.
On a d'ailleurs
/ (il -t- m dm -h ndn =2 o^
et par suite
dl dm dn
my — «é noL — /y /6 — mu.
Or la direction définie par les dénominateurs de ces rapports est celle d'une droite perpendiculaire à la génératrice
et à Taxe du plan oscillateur, c'est-à-dire celle de la tangente, ce qui conduit aux relations (i).
Les arêtes de rebroussement des surfaces développables déflnies par Téquation (5) sont dites les dés^eloppées de la courbe directrice. Comme cette équation ne renferme que la différentielle de l'angle f et non cet angle lui-même, il en résulte qu'une courbe à double courbure admet une infinité de développées. Si la courbe est plane, <p est une quantité constante.
308. I ° Désignons les quantités qui se rapportent à l'arête de rebroussement par les lettres affectées aux quantités analogues relatives à la courbe directrice, en les accompagnant de l'indice i. Nous excepterons seulement les cosinus directeurs de la tangente, qui seront toujours /, m, n. Cela posé, en se reportant aux notations et aux formules des pages 191 et 192, on a
dl doLx dm ^S, dn ûfy,
et, à cause des formules (i) du n° 307^
dl =r:a&>|, (1) { dmr=. 6w,,
dn = cw, y
doLi = — aui , (a) ^ dSi = — ^tt, ,
d'où
ft>, =r adl -h bdm -4- cdriy
(3) £/, = — {«</«,-*- è<iS, -h Cflfy,).
Or, par hypothèse,
al '{■' hm -h cnzzzo^
SOLUTIOJXS. 225
et par suite,
adl 4- bd/n -4- cdn =z — [Ida -+- mdb -h ndc) = — » siny ,
en désignant par cp l'angle de la génératrice avec Taxe du plan osculateur au point M de la directrice \ donc
(4) Wi = — fr) sin^.
D'un autre côté, le plan tangent à la surface étant osculateur à l'arête de rebroussement (n" 305) ? les cosinus directeurs de Taxe de ce plan sont donnés par les relations
a.i = bn — c/w, ^, z= cl — an^ 7, = am — bl. On en déduît
à ad(Xi-h bd^i -\- cdyiZ= — (a,û?<2 H- 6,rfft -I- 7iC?c) I = — «(a,X-f- 6| fx -f- 7iv),
puis
a, > -f- 6, f* -f- 7, V = — {al -f- 6/72 -f- 7/2) = — C0S(j».
Ces résultats transforment l'équation (3) en celle-ci : (6) «I = — wcos<p.
Des valeurs (4) et (6) on tire
--=rtangy;
il suit de là que, si la courbe directrice est plane, l'arêle de rebroussement de la surface développable est une hélice (n** 288). Cette remarque a été faite par M. A. Serret dans le cas particulier où la génératrice est normale à une surface S sur laquelle la courbe est tracée, c'est-à-dire lorsque cette courbe est une ligne de courbiu*e de S.
2^ On a trouvé généralement (n° 298), pour la distance MM, = II,
d.Tdl -h dydm -+- dzdn "" dl^^dm''-^dn^~'*
Freset. — Recueil 1 0
ÎI26 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
formule qui donne ici
D'un autre côte, des relations évidentes
X, — .r = /A, j, — yz=z mh^ z, — z = nh^ on tire
JTi — dx=:mdh -f- ^€//72, /Vz, — dz =^ ndh -f- Arfw;
et par suite, à cause des équations (i) et (7), . dxy, = Idh, dfx = mdh^ dz^ = ndhy
résultat facile à trouver par la Géométrie.
On en déduit
ds^ = dh^
ce qui fait voir que la génération des développées de la courbe directrice est tout à fait semblable à celle de la développée d'une courbe plane.
309. Soit <2 = (p (^, JK) Téquation de la surface donnée; si /, m, n représentent les cosinus directeurs de la normale au point M, on sait qu'on a
l = lSp^ mz=^q, 72 = — N, avec
et
dz z=.pdx -f- qdj»
D*ailleurs, la courbe directrice (n" 298) étant ici une ligne de courbure, les formules du n° 306 deviennent
/ V dl dm dn
OU bien
cLc dy dz
11 est manifeste que d(Np) est une différentielle totale, ainsi que d(Nq) et rf(N).
On lire de là
N^z dx -h pdz dy -\- qdz r/N dp dq
L'égalité des deux derniers rapports donne immédiatement Téquation connue des ligues de courbures.
Les équations (i), cas particulier do celles que nou« avons données dans le n** 306, sont dues à O. Rodrigues.
310. 1° Puisque la courbe AB appartient à la surface S, on a (n*^ 295)
dl dm ^dn yjdl' H- dnû -h dti^ v
dx dy dz ds ds
/, /w, n étant les cosinus directeurs de la normale à cette surface au point M(j:,j>^, z) de la courbe. On a de même
dix dm^ driy (^ djc dy dz ds
/j, 77Z,, 7ii et ^'i se rapportant à la surface Si. De plus,
CCS 9 = //, -h /W/72, + /?/?,,
6 désignant l'angle sous lequel les deux surfaces se coupent au point M. De là résulte la relation
(3) — sin hd^^=zldl^-\-m dm, -\-ndni-\-lidl-r- rh^ dm -\-n^dn\
IZS CALCUL DIFFÉRENTIEL.
ou, à cause des équations (i) et (2) et des identités évidentes
Idx + mdj- -1- nih = O, /, dx + m,dy -i- n, ih = o,
1" Réciproquement, si 6 = const., el qu'on ait en même ips tes équations (i), l'équation (3) conduit à celle-ci :
«nime on a d'ailleurs
/, dl, + m, dm, -♦- n, dn, = o,
équations (4) et (5) expriment que la direction {dl„ I, dn,) est perpenili cul aire à la direction (/, m, n) el a direction (/,, m,, n,), c'i;st-à-dîre qu'elle se confond !C la direction [dx, dj, dz). c. q, f. d.
ïll. L'ëqualion de rdlipsoïde étant
aura pour celle du plan tangent au point (a:, y, z]
:c la relation
Les équations d'une pcrpeiidicidaire à ce plan, menée p.ir 'igine, peuvent s'écrire
Pour éliminer x, y^ z entre les équations (i))(!2), (3), comme la valeur commune des rapports (3^; est
(«'X»-+-<5»'Y>-+.c'Z=j', il suffit d'observer qu'on a
d'où
La podaire de l'ellipse ïde (n® 235) relativement à son centre est donc la surface d'élasticité (224).
