Les équations de l'hélice étant

X = a cosS, -^ — a sin 9, t = k6, ;)les de la tangente peuvent être mi^es sous la forme

|«sine(.-Ao) = -M^-«<=ose)

J j rtc<,se(,-te) = X-(j'-ûsin9),

I) j;cos9+j-sine— a — o.

La dernière de ces équations peut être considérée comm^ îlle de l'hélicoïde développable, en y supposant 6 replacé par la valeur que donne la précédente. Si l'on repre- ;nte par a le premier membre de (3), on est conduit»

soLUTiours. a3i

calculer Texpression

du /du} du* du'\ *

En différentiant et tenant compte de la relation

f CCS 0 — .r sin ô = ( .r' H- /' — ^ ' ) ^ » qui se déduit facilement des équations (i), on trouve

du ^ X du . ^ y du (j:*-4- r* — a"*)*

— = COSÔ î -r- = 81110— -, --■=. '-— ,

Ox a ojr a Oz k

et, par suite, pour l'expression cherchée,

quantité constante identique au sinus de l'angle que la tangente à Thélice directrice fait avec le plan jy^.

315. r étant la distance d'un point de la surface à l'origine, on trouve pour l'équation du plan tangent

et pour la distance cherchée,

316. 1° Surfaces à centre. 11 suffit de considérer Tellipsoïde rapporté à son centre et à ses axes. Appliquant Téquation connue des rayons de courbure principaux

on trouve ^

où D représente la distance de l'origine au plan tangent.

1 CkLCUI. DIFFËREHTIEL.

inverse du piuiluit des r.-ivons àe courbure prîncipau); , d'après (îauss, la mesiirei île la courbure, ou simple- ; la couibnre de cette surface, celte courbure est ici âme pour tous les points dont les plans tangents soui le distance du centre.

Pataboloidcs. — ■ L'équation de ces surfaces étanl

, , J -il ." 27'"'. I I / ' I , i.\

■iyx -^j +3 ] 4.-^; ___^ + ^^j

° Les équations (i) du n" 31'fr donnen' celles-ci ;

I dernière, JuiiiLe à la relation (3) du même numéro, ssente la surface, et l'on en tire en différenliant

i formule (1) du n" 316 montre que l'un des rayons ourbure est inlini, et que le carré de l'autre est

a appelant courbure moyenne la demi-somme des ns principaux de courbure, on voit que la courbure enne de l'hélicoïdc gaucbc est toujours nulle.

§ XV. — Ens^eloppes des lignes et des surfaces,