En posant successivement
on trouve
Les dernières intégrales de ce paragraphe, à partir du n** 4-15, ont été données par Euler, mais sans indiquer la voie qui a pu le guider dans le choix des substitutions.
§ V. — Intégration par réductions successis^es . I .r 2/î — Z \ r djc
2(7z— I) «'(a'-f-ar')"--* 2(/2— i) a^J (a^-hx^)"-'
, ^ f* dx Si 71 est positif et entier, rintégrale est ramenée à 1 -7—- ,
Pour w = 4? ^^ trouve
6 «'(«' + .^?')' 6.4 ^<(a'H-jr;2)2 6.4.2 a«(a'-4-JC^)
^-7 arctang-.
net p étant positifs et entiers, l'intégrale se réduit à Tune des trois formes
f r/jT r xdx Ç j
où Xr désigne un nombre entier positif. Pour /i = 4» /^ = î^î 011 trouve
S = j-- 4- - ( a? — arc tang -
hfl\
Pour 71 = 5,
ft
H- 77—? — a'arcsm--
Si Al est impair, l'intégrale se ramène à
si n est pair, a
= arcsecar;
^JT (**—")*
.r»(x'— ly» "^
SOLUTIONS. aoS
Pour n = 6^
Pour /i = 3,
Pour /i = 4? A = I ,
S = 2(«H-*)'{ ax»H-
(/i — i)a x*~* 2a « — ijaf*-^^ '
Pour 71 = 3,
S=(-^ ) (a-î-èx)'H log^
8a' (aH-6x)*-^a*
X"~* €lx
Pour 71
3(fl
— -a(aH- 6
x»-»{a-4-6xH-cx»)»
ne
r-4-cx'
x"-'rfx
^ (a -h 6x-hcx»)*
296 CA.LCUL INTÊGKAL.
Pour /i = c5, a = i, b ^= c = — i.
S = — ^ ; — (ox' — loar -+- 3i) ^arcsm ; — •
— b sin j:
(« — '!)(«* — ^*) (« -H ^cosx)«~»
(/i — i)(a*— ^*)J [04^^ cosx)'»-'
"~ (« — i)(a'— ^')j {a -h ècosj:)''-*'
)îu faisant «=2, la dernière intégrale disparaît, et il vient
eix I
— bsïnr 7. a X \ — -T ' r arctang
^«+tC0SX (^,__^,)j
S pourra donc s'obtenir au moyen de cette dernière formule et de celle du n° 361.
On déduirait facilement de là
, , C cosjtdx a} — b^) \
^zsinx ib I /a — b\* x\
=: ; r arctang I ( | tancr- •
a-^bcosx (^,^,jT ^L\«^-^/ ''2.1
On peut remarquer que l'expression plus générale
f[ co^x)dx
[a -h b cosxj"
où Ton désigne par^une fonction entière de degré p<C^h se ramène à la proposée. Soit, en effet,
a-h b cos^ = z;
SOLUTIOftS. 297
il en résulte, en faisant pour abréger bh = — n,
/(cos.)^/(/0-4-im-Hf^-....-.5i^^^-.
' «^ V / b ^ ' A>' 1.2 bP i ,1.. , .p
et, par suite,
i .2. , .p,bP J z^-P
§ VI. — Intégiales définies.
Formules d^un usage fréquent :
tf-'a:"-' da: = - j e'^" dx.
(G) r(/n-i)=:/ir(/i).
V / \ ; V / Cl 11 /; 4r
