On saît que Texpression ( i 1 9 toujours plus

petite que e""'", se rapproche autant qu'on a eut de cette limite, quand on fait croître indéfiniment le nombre en* tier m. On peut conclure de là

e-'''dx == lim / f i j dx.

Pour établir cette relation en toute r/gueur, considérons

les trois intégrales

Jq

où Ton suppose h <^ m", et par suite

On peut toujours prendre m assez grand pour avoir A=B-|-a5 a désignant un nombre aussi près de zéro qu'on voudra. On peut également donner à h une assez grande valeur pour qu'on ait aussi

e-'" cU r= A -4- 6, o

6 étant du même ordre de grandeur que a. Il suit de là

e~-*"rfx — B est infiniment o

3ia CALCUL INTÉGRAL.

petite pour m et h infiniment grands ; il en est à fortiori (le

e"'" dx — C, ce qui

démontre la relation (i).

Cette relation devient intuitive si l'on construit les courbes données par les équations

En rapprochant de Téquation (i) la valeur trouvée pour A, dans le numéro précédent, il vient

J[ tf-'" dx z=z lim I •

mn

Pour n= 2, on sait que le premier membre est égal à

- 7r'. Quant au second, il se présente sous une forme peu

commode pour le calcul, mais il est facile de le ramènera celle de la formule de Wallis (n° 642) avec laquelle il présente de l'analogie. En posant

on a également ^

m \ m} ^ I 357 7, m — i/2/7iH-i' d'où

, 2 4 4 2w im \ m

et par suite

ce qui s'accorde bien avec la formule de Wallis,

SOLUTIONS. 3l3

Le cas général peut se traiter d'une manière semblable. On a, en ellet, d'après le numéro précédent,

. 71 2/1 mn ;:

Am = • • . /»",

AjB = — ; ; •• •- r 9

I /Z-hl 2/i-f-I (/72 — l)/2-+-I /72/2 -I- I

""' ^ 2 /? \ ""' / mn "^ ""•

On déduit de ces relations

" I\/î-+-I/ \/ï-hl/ \2/î-4-I/

mn \ "~^ 771

mn -f- I y 772/2 -f- 1 et par suite

limA. = (i^" r^ f-^y-'^^L. f 2f y-'. . .f .

§ VU. — Intégration des fonctions de plusieurs variables.

Lorsque les conditions d'intégrabilité sont remplies, les expressions

ont respectivement pour intégrales

La première peut être remplacée par celle-ci,

3l4 CALCUL INTÉGRAL.

et la seconde, en y permutant convenablement les variables, les fonctions et les liaiites des intégrales, en fournit cinq autres qui représcnlcnt chacune la même fonction. Ou choisit, selon les cas, Tordre d'intégration qui paraît le plus avantageux. Ou assigne de même à Xo, j'o? ^9 les valeurs qui donnent les résultats les plus simples.