L'équation de la courbe étant ( - ) -h ( j ) = i
on est conduit à une différentielle binôme. Le calcul donne
— ^— pour Taire totale.
On arrive plus rapidement à ce résultat au moyen du théorème suivant, dû à M. Lejeune-Dirichlet. Soit
V= idx I df I dz. ..a:«-'y-»3*-*....
3l6 CALCUL INTÉGRAL.
Les 11 alites étant données par la condition qu'on ait toujours
et les quantités a, A, ^v**? ^'i ^î 7v9 P'i ^7 ''vî ^^^^^^ positives, la fonction V aura pour valeur
.. M -Vf-
par (abc \ p q r
Or Taire cherchée A a pour expression 4 j jdxdj^ les limites des intégrales étant assujetties à la condition
-iir=.=
on a donc
et comme, d'après les formules (D) et (C), p. 297,
r(4) = ....3. r(!) = r(.-.i)=lr(i), r(l) = v;,
on retombe sur l'expression déjà obtenue. Le théorème de Lej'?*une-Dirichlet se trouve dans le Tome IV du Journal de Idomnlle.
On peut remarquer que la courbe représentée par l'cquation
est toujours carrable quand n est entier ou la moitié d'un nombre entier.
SOLUTIOKS. 317
hn» En employant les coordonnées polaires, il vient
A = 7^ a'sinaO -|- C.
L'aîre totale est égale à a*.
On tirera de là
*A — îA
tange=:-^;^^ =:5j, r^ = e +
tf
La courbe est une hyperbole équilatère ayant pour équation, en coordonnées rectangulaires,
X* — J* zz: I .
Si Ton exprime aussi les coordonnées a: et j^ en fonction de A, on trouve
fA , —SA tA -SA
I^a grande analogie de ces résultats avec les formules connues
tAi — lAi lAi —SAi
e -he . ^ e —e
C0S2A= j sin2A= :
a fait donner à Tabscisse le nom de cosinus hyperbolique de 2 A, et à l'ordonnée celui de sinus hyperbolique de la même grandeur, ce qui conduit à écrire généralement sous forme abrégée
(H) =Cha. f— = Sha.
3l8 CALCUL INTÉGRAL.
Si l'on rapproche de Thyperbole considérée le cercle qui a pour équation
en appelant At le secteur circulaire correspondant au même angle 9 que le secteur hyperbolique A, on trouve que l'abscisse et Tordonnée du point déterminé sur le cercle par cet angle 0 ont respectivement pour valeurs cosaAj et sinaA,, ce qui rend plus complète encore Tanalogie qu'on vient de signaler.
La considération des fonctions hyperboliques Shx elQix a conduit à d'autres définies par les équations
Th.r = pq— == - , » Séchx=-;r— » Coséchj: = -r-. Chx Cothx Ch.r Shj;
De plus, à chaque fonction correspond la fonction inverse. Par exemple, de Téquation Shx =j^, où x est Vargument de la fonction Sh, on tire x = argShj^, et ainsi des autres.
Le Tableau suivant montre que l'analogie entre les fonctions hyperboliques et les fonctions trigono métriques subsiste dans un grand nombre de cas.
Formules relatives aux fonctions hyperboliques,
Sha: = > Kja.x:z=. 9 Thj: = — •
Sh ( /x ) = / sin j", Ch ( ix ) = ces Xy Th ( / .r ) r=: / tang.r,
sin ( /x ) = / Sh x, ces ( /.r ) = Ch x, tang ( ix ) = / Th x.
Sho = o, Cho = i, Tho=o,
Shoo=oo, Choo = QO, Thoorrri.
Sh (— x) = — Shx, Ch( — x) = Ch.r, Th( — x) = - Thx,
Ch'x — Sh».r= I.
Sh(x ±7) = Shx Chjzt Chx Sh^, Ch(x±j) = ChxCh^±ShxShr,
SOLUTIONS. 3ig
dSh.r = Chxdj:, dChjr=zShxdx, dThx = -r^*
Ch'ar
c'z= Chx -f- Sh.r, (Chx± Shx)»= Chnx dt Shnx
-pi jjA
Shx =:x '\ r H o / f 4- • • • •
dix =. I H 1 — — 7 +
hes Jonctions hyperboliques se rencontrent dans plusieurs questions. Lambert s'en est beaucoup occupé et en a le premier donné une petite Table ^ depuis, les travaux étendus de M. Gudermann [Journal de Crelle, t. VI et suiv.), et les Tables développées de M. Gronau (Dantzig, i863) ont mis en lumière l'importance et l'utilité pratique de ces fonctions. On consultera avec intérêt et profit, sur cette matière, l'excellent Recueil de Formules et de Tables numériques publié en i866 par M. Houël, V Essai de M. Laisant (1874) et le Traité de M. Gûnther (1881).
479- [P^S* ^Tf P« 320.) Pour avoir l'aire enfermée dans la ligne ODGAHC, on intègre depuis S = o jusqu'à la première valeur de 0 qui annule le rayon vecteur, et Ton double le résultat. Soit a cette valeur fournie par l'équation de la courbe, on trouve
aire ODGAHC = - [{a^-h 2è»)« 4- 3^(«"— b^f].
a aussi
On
aireOEBF=:-[(a»4-2A»)(7r-- a) — 5^(fl»- ^»v].
Roberval, qui a calculé le premier Taire de cette courbe, lui a donné le nom de limaçon de Pascal. C'est une conchoïde du cercle, dont la construction a été déjà indiquée
(n° 263). Cette même construction montre qu'elle est la podaire d'un cercle (235) par rapport à un point quelconque de la circonférence.
Le limaçon de Pascal, qui figure parmi les épicycloïdes, est aussi un cas particulier des oi^ales de Descartes ou courbes aplanétiques (n* 329).
WO. A=- a'tangô + art^logtangf^ -i- -J -i-^>»8 4-C.
Wl. En faisant usage des coordonnées du n° 277, ou trouve facilement
et par suite,
rdB=pcIs=p(dr^^r^dQ^)\
Appliquant cette formule à l'épicycloïde , dont Téquation
est mise sous la forme
obtenue à la fin du n" 276, il vient
On déduit de là que Taire engendrée par le rayon vecteur pendant une révolution entière du cercle mobile a pour expression
-i — 7 '— — — {a^-\-Zab -4-5t^M,
en remplaçant c par sa valeur a-^- ib.
Cette expression renferme, outre l'aire comprise entre le cercle fixe et Tépicycloïde, un secteur du cercle fixe dont Tare a pour longueur la circonférence mobile. Ce secteur ayant pour valeur xsab^ la surface restante est égale à
tsb^
(3aH-2Ô).
