S = a log-ï l'arc étant supposé nul pour j^ = a
. s = a / ( ) /ir -4- C.
J la — x\ la — X I
La longueur de l'arc, à partir de l'origine, est 8fl- 3,
ia
\ -4a + 2.zv^log^ -L \ -^•
Si Ton fait croître y indéfiniment, la ditFérence S — j tend vers la limite 2 a [ \/3 log (2-1-^^3) — 2J.
488. On est conduit à une difFérentielle binôme. Il en résulte
ce qui donne — pour le quart de la longueur de la
courbe. On obtiendrait le même résultat en observant que, pour rectifier la développée d'une courbe connue, il suHit
324 CALCUL I]NTÉGRAL.
de prendre la différence des rayons de la développante qui correspondent aux extrémités de l*arc dont on veut trouver la longueur.
kSd* En faisant a -^-b = bn dans les formules (D) du n® 234, on en tire
S := / 2 ^/Z SIQ tdt = ^^ — Sin* yr'
Jo ^ a \h .
Pour riiypocycloïde, il suffirait de changer le signe de b dans la parenthèse.
La question proposée se résout très-simplement au moyen des coordonnées r et p (n*= 4-81).
490. La courbe étant située sur une sphère, les coordonnées d'un de ses points IM peuvent s'écrire
x = acosôsiny, jr = a s'mQ sinf^ z=acosy.
On tire de là
et les angles (j et 6 sont liés par la relation
j = sinf>Ch./i0 = i. (To/r pages 3i8et Sig)
On eu déduit, en supposant nQ positif,
/ X rw.1 /» ^^^ cos<pSh/2 0 I
df smip LhnQ sm^
«t, par suite, si Ton fait n tang y =sr i ,
sin
