INTÉGRAL

D'ailleurs,

d'où résulte

dr

dr

vV-rJ ^

- i6aV<(a« —

or ou a

-4-r<)«— i6aV«(a<

r'Yi

par cousëqueut,

rrx

dr,

Jo S'' —n Jo vû' — '*

Ce résultat est du à Fagnano.

493. En désignant par s la moitié de la longueur de la première courbe, par s^ un arc quelconque de l'hyperbole, on trouve

I r"" dr /"• r^dr

11 faut démontrer que la valeur absolue de la différence r — Si tend vers - quand on suppose que r croit indéfiniment. Pour rapprocher les formes des intégrales qu*îl s'agit de comparer, faisons dans la première r = az*^ et dans la seconde a = rz ; il vient

. r' z'dz r' dz

s=:6a I j9 Si=:a I ^>

et

Or

/z'rfz 1 dz r{l — z*)'(iz

(l-z^y J z\,-zy J

et comme on trouve, en intégrant par parties,

il en résulte

et par suite

r, (i — zM^ r z'dz 1

On conclut de là

Vf ^ I ' ^'^^

lim{r — 5,) = ^z / ^~3'

r' z^dz ^ \ 1

ce qui démontre la proposition énoncée.

M. Faure {Nouvelles Annales de Mathématiques, 1 853) a généralisé la question précédente en remplaçant l'hyperbole par la courbe qui a pour équation

r«cos«Ô = «" (n«242).

§ X. — Cubjature,

On désignera généralement par V le volume cherché. W4. Le volume étant supposé nul pour j:= o, on a

V = ira I — + aM Vc«

= " "'^ [ log — ^ J

4.95. En prenant Tasymptote pour axe des ac^ la cissoïde a pour équation .

il en résulte .

djr[a -f-j^)(2aj — ^*)' = 2o'a^