L'équation dîirérentîelle de la cycloide étant

dx \ ^ on a

n suit de là que la surface engendrée par la révolution de la cycloide entière a pour expression

509« Les équations des surfaces étant

on tire de la première

dz X dz

dx z djr '

et, en posant ji = [a} — x^Y ^

C"" r^' dxdy

Jo Jo («^--«r

510. En nommant A la portion de l'aire cherchée, limitée, commele volume Vdun** 503, paries plans ZOX,ZO/w

et la surface cylindrique, on a

A = a j j ^ = a»0— a»/ sinnBd^.

L'intégrale du second membre, qui a pour valeur

— sin* -» représente l'excès sur A de Taire du triangle

spliérique limité par les mêmes plans que A. L'élémeiitde cet excès s'obtiendrait aussi directement en calculant l'airedela zone qui répond au segment de sphère considéré dans le n° 503.

Pour /i = y 9 la courbe tracée sur la sphère est la spirale

de Pappus (n» 296), et Ton voit que la surface comprise entre cette courbe et la base de la demi -sphère est égale au carré du diamètre. Ce théorème, dû à Pappus [CoUect. Math,, Liv. IV, prop. 3), est le premier exemple de la quadrature d*une surface courbe.

Si « = I , l'excès de la surface de la demi-sphère située dans la région des x positifs sur celle que le cylindre droit en détache a pour valeur 4^'. Ce résultat résout le problème qui consiste à percer un dôme hémisphérique de quatre fenêtres égales telles, que le reste de la surface soit équivalent à un carré, problème que Vivîanî proposa sous forme d'énigme aux géomètres de son temps. Voici en quels termes il s'exprime dans les ^icta eruditoruni de 1692 :

JEnigma geometrlciim de mlm opificio testudinis f/uadrabiUs hœmhphericœ, autorc D. Pio Lisci Pusillo Geometra. .

« Inter venerabilia olim Grœci» monumenta extat adliuc

» perpetuo quidem duraturum templum augustissimum

D ichnographia circulari almœ Geometriœ dicatum, quotl

» testudine intus perfecte hemisphserîca operiturj sed in

» hac fenestrarum quatuor aequales areae (circum ac supra

')) basin hemisphaerœ ipsius dispositarum) tali configura-

» tione, amplitudine, tantaque iudustria ac ingenii acu-

» mine sunt extructœ, ut his detractis superstes curva

n testudinis superficies, predoso opère musivo ornata, )) tetragonismi vere geometrici sit capax. » (n^ 503.)

Sous l'anagramme qui dissimulait le nom de l'auteur, on trouve : Postremo Galilei discipulo. Le problème était en effet une épreuve à laquelle un des élèves les plus distingués de Galilée voulait soumettre la nouvelle analyse créée par

Leibnitz. Celui-ci en trouva la solution le jour même où le programme de Viviani lui parvint (Acta erudit., i6g^). Jacques Bernoulli résolut aussi la question et montra qu'on y pouvait arriver d'une infinité de manières. La construction géométrique donnée par Viviani lui-même est ingénieuse, mais manque de rigueup. Un religieux camaldule, Urbain Grandi, en fit connaître une plus satisfaisante en 1699. ^ prouva en outre qu'on peut détacher d'un cône droit une portion de surface quarrable, à laquelle il donna le nom de voile du Camaldule; mais cette remarque avait déjà été faite en 1696 par Jacques Bernoulli. On peut d'ailleurs la formuler ainsi : Tout prisme droit dont la base s'appuie sur celle d'un cône droit détache du cône une sur J ace dont le rapport à la base du prisme est égal à celui du côté du cône au rayon de sa base,

Bossut, comme on Ta vu (n® 603), a démontre que le volume du dôme de Viviani est égal au neuvième du cube du diamètre de la sphère. Euler a beaucoup généralisé le problème de Viviani (Comm. nov^. Acad, Petrop,, 1759).