En mettant l'équation sous la forme
dx\
^dx X ]
et posant
ensuite
il vient
I dz ^ n'djr'
d'où
d^z 2 dz
dx^ X dx
Cette équation, traitée comme celle du n" 537, a pour intégrale
zx=:Acos(nx -1- a),
A et a étant deux constantes arbitraires. En diiférentiant et tenant compte des relations (i) et (2), on trouve
Acos(/îjr-+- a) Asin{nx -h a)
w'jT* nx
639, L'équation peut s'écrire
dx
-di — '^'^=°-
346 CALCUL intégual.
En posant x = ii^\ la transformée conduit aux deux suivantes :
dont la dernière fournit Tintograle
L*équation proposée s'intègre encore comme il suit :
Soit \ On x" •=y une série dont le terme général est û„a",
n pouvant recevoir des valeurs entières positives ou négatives. Cette valeur de j^, substituée dans l'équation diiiérentielle, donne la relation
rt?jjj 2 3u — O»
En égalant à zéro le multiplicateur de j;"~*, il vient
égalité d'où résulte qu'on ne peut attribuer à n que des va leurs négatives. Faisant donc successivement n égal à — i — 2,..., on trouve
T C* le*
«0 et «1 désignant deux constantes arbitraires. Ce résultat peut évideinmcnt se mettre sous la forme déjà obtenue.
5W. Substituant à y dans l'équation la séiie
SOLUTIOKS. 347
on est conduit à poser successivement a = o, a = 1 , ce qui donne les intégrales particulières
ra
à condition de remplacer dans la première i .2 . . > 2n par l'unité quand on fait n == o.
On peut toujours trouver la somme des séries précédentes. En eiïet, de Téquation évidente
2 , . , in 2
on tire
V^ ( 2 /? — Ils'" c' , . e~* ,
par suite,
.= - [e^-* {3c J - 1) - e-^''{3cJ — i)j;
On aurait de même, b désignant une constante,
y^= h [c»^'' (3<?ar» — 1 ) -H e?-»"' ( 3ca:' -*- i ) J ;
d'où résulte enfin
7=:a(i — 3cx^) ^3c- ' -h B ( I + 3 c jc^ ) tf- ««' ' .
