Dans le cas particulier où Ton a

Téquation se réduit à

(i) (aiX-hUijr) [xdy —yd.r) = (i», j: -h biy)dj— [cx^-^-c^y] dr,

et rentre dans celle du numéro précédent.

Pour voir s'il est possible de ramener Téquation donnée à la forme (i), changeons de variables et posons

a* et 6 étant deux constantes qu'il s'agit de déterminer de manière à obtenir la réduction qu'on a en vue. On est conduit de la sorte à satisfaire aux deux équations

ai[a -\- Oi OL -\- a^^) — (6-|-6,a-|-6, 6) = o, 6(« -i- ^z, a -h «26) — (c H- c, a -h Cjê) =0.

On peut les écrire

6 4- è, a H- ^2 S c H- c, a -f- Cj 6

" = li = rt -f- û| a H- a j 6 ;

352 CALCUL lA'TÉGEÀL.

et si Ton pose chacun de ces rapports égal à A, il en résulte

le système

(a — >) -f- fl, a -f- «jê = o,

d'où Ton déduit, pour déterminer X, et par suite a et 6, l'équation du troisième degré

— aib{cî — X) -h «1 6jC H- a, 6c, =0.

La réduction à la forme (i) est donc toujours possible, et Téquation proposée peut toujours s'intégrer.

L'intégration de cette équation a été donnée par Jacobi {Journal de C relie, t. XXXIV), en adoptant une marche très différente de celle qu'on vient de suivre, et qui est due à G. Boole.

554. Cette équation rentre dans celle de Riccati, dont la (orme générale est

, et qu'on sait intégrer toutes les fois qu'on a

nrzïz I r étant un ùombre entier. Dans l'équation proposée,

on trouve alors