Les équations données reviennent aux suivantes

d^jc __dK jc d'y '^R T d*z dK z ^'^ dl* «^ r' dt* dr r^ dt' ^ dr r'

On en tire

xdjr — jreh:=zCid/j ydz — zdy z=C^dty zdx — xdzz=zC^dt,

Si Ton ajoute membre à meml>/e les carrés de ces équations,

le résultat peut s'écrire

(2) (x»4. y^ -h z») (dx^ -f- dj » -h rfz») — (x €ir -^y dy'-\-zdzY=z A} de,

A* représentant la somme C J -h CJ -h CJ .

D^ailleurs, en multipliant les équations (1) respectivement par arfx, arf;^, 2,dz et ajoutant, il vient, 2B désignant une constante arbitraire,

dx^ -+- dy^ ^- ^3» = 2(R -4- h)dt\ ce qui permet de mettre l'équation (2) sous la foi me

(3) (xdx -^ydy + z dif = [2r»(R + B) — k}]dt'' = r^ drK On tire de là

(4) é// = [2r»(R-f-B) — A»] Vrfr,

et, en dilTéren'iant,

Ce résultat permet de déduire de la première des équations une relation qui ne renferme plus R \ on trouve ainsi

ou bien

dt\^ dt\rjj r* r

Changeons de variable indépendante et posons

Ja relation précédente devient

et par suite

- z=gi cosç -f- A, sitif .

On aurait de même

- =2 g^costf -h Ajsinf ,

- z=gfCOS<f + A, sin<p.

On tire d'ailleurs des équations (4) et (5)

Les constantes arbitraires A, B^ a, 6, g^t, A|, ... ne sont pas toutes indépendantes. En effet, en élevant au carré les valeurs de x^y^ z et ajoutant les résultats, on trouve

I = cosXg'î -h g\ -+- g\) -4- sin»ip(AÎ -*- a; 4- h\) 2sin(pcos<p(g',A| 4-^,Aa4-g',A,).

Cette relation ayant lieu pour toutes les valeurs de y, on en conclut

de plus, S modifiant seulement les constantes ^1, //j, . . . , on peut le supposer nul, et il reste en définitive six constantes distinctes.

Observons aussi que les intégrales qui déterminent f et y ne sont pas indépendantes. Si l'on pose, en effet,

S=['^[2;'(R-hB)-A»]% on a

Si R = -9 fx désignant une constante, le calcul précédent

donne la loi du mouvement d*un point matériel attiré par une force centrale qui varie en raison inverse du carré de la distance.

Ce calcul, dû à Binet, a été appliqué par lui au cas d'un nombre quelconque d'équations.

[Journal de Liou\^ille, t. II.)

368 CALCUL IHiTÉGRAL.

§ XVJU. — Equations linéaires aux dérii^ées partielles

du premier ordre.