XY X Y

Sjl CALCUL INTÉGRAL.

^ j j dx dy dz du

^-fz-h« z-+-tt-f-JC tt-hX-hJ X-j-J-hZ

Ajoutons terme a terme ces rapports égaux, il vient

d [x -{- y -\- z -{- u) dx dv

3{x -h^ + z H- w) X -\- z -{- u Zv

en posant

jr-f-J^-|-z-4-ii=:J'.

U'aillcurs, on a aussi

dy — dz d{y — z) dv ^ z—y "" y — z 3t^'

d*où résulte

v[r-zY c.

On trouve encore, à cause de la symétrie, l'équation intégrale est donc

§ XIX. — Equations non linéaires aux dériv^ées partielles du premier ordre à deux variables indépendantes.

On sait que pour intégrer l'équation

où

àf df

on pose le système des équations simultanées

. . dx dr dz — dp — dq

SOLUTIONS» SjS

dont on détermine une intégrale

(îi) F(x,j,/?,7, C) = o,

contenant au moins Tune des quantités p, ^ et une constante arbitraire C. Cela fait, les équations (i) et (2) fournissent pour p et q des valeurs qu'on porte dans l'équation

et, en intégrant cette dernière, on a Vintègrale complète

renfermant les deux constantes arbitraires C et Ci.

L'intégrale générale est donnée ensuite par le système

dans lequel on suppose que C, est une fonction arbitraire de C. Ce système se remplace par une équation unique quand on peut éliminer C entre les équations (4).

Si enfin, considérant C et Ci comme des quantités indépendantes, on les élimine entre les équations

on obtient la solution singulière de (i).

Il suffira donc, dans chaque exercice, de déterminer une intégrale complète de l'équation proposée.