Le système des équations simultanées donne l'intégrale
au moyen de laquelle on tire de la proposée
lapC = — z*{x 4- Cy) ±s/ z*{x -^ Cx)'— /\ffC^.
Posant
x-hCy=zUf zh^z^lx-^-CfY — ^acz^=zv, Téquation dz = pdx -i- qdy se met sous la forme
ce qui donne Tîntégrale complète
Ciz(x-\-Cy' -4-C,) -haC = o.
Il y a la solution singulière .vyz — ^ = o.
621. Le système des équations simultanées donne l'iniégrale ^ = Cp, d'où résulte, en faisant a:-|-Cj=c«),
par suite,
équation qui s lutegre en posant
V'(i>' -f- 3^1 := w -h tt,
et donne Tiritégrale complète
(i) 2/»— 3t'(x -h Cj) -h (07 H- cj'Y = c„
où l'on représente par t l'expression
La recherche de l'intégrale singulière conduit à la solution 2 = o (jui rentre dans (i).
622. p = C(/ étant une intégrale du système des équations simultanées, on en déduit
qsJiC=:{z- tfC-f- s^lTcY -J^{z — aC — s/T^y,
et, par suite, pour l'intégrale complète,
On trouve une autre forme de cette intégrale en partant de l'équation
2 q^dx == dq[q^-i- 2a)^
38o CALCUL IKTÉGIIÀL.
qui donne
et conduit à celle-ci,
en y regardant ç comme une fonction de x représentée par Téquation (i).
Il en rt suite Tintëgrale complète
c'est-à-dire
z[{x -h C) ±>J[x -h Cy -i- ^aY
= g-f-(r-t-C,)[(xH-C)div/(j:-^C)»4-2aj'.
Si Ton fait a== 2, i = o dans la proposée et qu'on y remplace ensuite z par 22 — 2 a, on retrouve une équation traitée par M. Imschenelzki [Sur l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Traduction Houël, p. 87).
§ XX. — Calcul des variations.
Formules générales :
dx dx
V^-r == A,, — A,, -f- / Bwr/.r.
A*j représente ce que devient la fonction A quand on y remplace les lettres qui y entrent par les valeurs qu'elles
prennent à la limite j: = Xi^ A,, a une signification analogue. D'ailleurs,
B=:N — 7--+--7T rr ■+-
aa: dx^ djr
(i) Ax, — A,, = 0, équation aux limites;
(2) B = o, équation indéfinie.
Si V renfermait Xo, x^^ j^^ j^i, ^05 Pi v valeurs de x, y^ p,.,., relatives aux limites, on ajouterait au premier membre de Téquation (i) la quantité
' —— - dx -f- dj^o I -T" dx -h, , .
Lorsque la fonction V ne contient pas de dérivée d'ordre supérieur au second et qu'on suppose en outre lVI = o, l'équation (2) se remplace par celle-ci :
et si Ton a à la fois
elle se remplace par la suivante :
382 CALCUL IKTitGRAL,
T^ors'tiie V renferme plusieurs fonctions de x^ chacune d'e'les donne lieu à une équation de la forme (2), à moins toutefois qu'elles ne satisfassent à une ou plusieurs équations données.
623. En égalant à zéro la variation de Tintégrale proposée, on trouve
Jl" -f- 2 /z ( j:* -h j' ) * =: o.
Si l'on fait tourner autour de l'axe des x la courbe représentée par cette équation, la surface qui en résulte renferme un volume qui, parmi tous ceux de même masse, exerce Tattraction maximum sur un point de l'axe. L'altraction est supposée proportionnelle aux masses et en raison inverse du carré de la distance.
G24.. LV4cment de la surface en question est p désignant le rayon de courbure^ on a donc
Jx.. Jx. 1
Coriimc X et jr n'entrent pas explicitement sous le signe. on trouve, d'après les formules générales,
OU bien
^Cp-^a ;
if
ce qui peut s'écrire encore
^ ' ds
bOLDTIONS. 3S3
Par un changement d'axes convenable on obtiendra
ou bien
^^^^ ^Pdp ^
dont l'intégrale est
On déduit de cette dernière
équation différentielle d'une cycloïde.
Les quatre constantes qu'introduit l'intégration complète sont déterminées par les conditions de la question. Dans le cas où Ton donne les points extrêmes A et B, sans donner les tangentes en ces points, Téquation aux limites se réduit à
Qi^/?i — Qo^/»o = o eu Q, =ro, Qo = o;
par suite,
^, =zQO, <7o=:ao;
les points  et B sont donc les points de rebroussement de la cycloïde.
625. Cette question est celle du numéro précédent généralisée; elle se traite de la même manière. On trouve en effet, pour Téquation différentielle,
384 CALCUL INTÉaVAL.
OU
Sn-f 1
ce quî peut encore s'écrire
En changeant convenablement les axes, cette équation devient
Prenant maintenant Taxe des x pour Taxe des j^ et réciproquement, et désignant toujours par la lettre p le coefficient angulaire de la tangente, on a
Substituons à p sa valeur
pdp
et intégrons, il vient
On peut démontrer que dans les courbes définies par cette équation diflerentielle le rayon de courbure est proportionnel à une puissance de l'ordonnée . On tire en eflet de
SOLUTIONS. 3g5
l'ëquation (i)
-^ dr
P et par suite
OU simplement
en changeant eonrenablement les axes.
(O. Bonnet, Journal de Liouville, t. IX.)
626. Soient r et d les coordonnées polaires d'un point quelconque de la courbe, ds l'élément de l'arc, r% et Tj les valeurs de r qui correspondent aux constantes x% et Xx\ si l'on fait seulement varier 9, ce qui est permis, la condition du maximum ou du minimum donne Téquation
et par suite
Cette équation intégrée (n*' 411) prend la f(»rme
r«+'cos(/ï-f-i) (e — e.) = C = /î-»-* (n«242).
Les courbes que cette équation renferme jouissent de la propriété de représenter, dans un grand nombre de cas, les intégrales eulériennes de seconde espèce (Serret, Journal de Liouville, t. Vil) . On les obtient aussi en cherchant la figure d'équilibre d'un fil flexible, homogène, dont la tension varie d'un point à l'autre proportionnellement à l'épaisseur, et dont tous les points sont sollicités par une
Frsret. — Becuetl, 2*^
force centrale en raison inverse de la distance. (O. BonneT) Journal de Liouville, t. IX-)
