x'-'X.Yds
' [n{x — j:,)"-'(Jx— ^;r,) -t- (a? — x.yd^s].
On a d'ailleurs et par suite
dx dy dz
dh= -r dêx -f- -f- d^Y -t- -p dêz.
ds ds ds
Après avoir substitué cette valeur dans la première équation et intégré par parties pour faire sortir du signe / les
dillérentielles des variations > on arrive aux équations suivantes :
rf [(X ..). g] = o, d [(. - ..Y I] = o. d\ (x — j-«)"^ I — n(x— x.y-^dszzzo,
' n[x — x^Y^^ds=zo^
A représentant Texpression
Les deux premières suffisent pour déterminer la courbe. On en tire
donc la courbe est plane. Si ou la suppose située dans le
plan des x^jr^ il faut intégrer Tëquation Cette équation revient à la suivante :
ou plus simplement
dont il est facile de trouver les cas d'întégrabilîté.
Si /2 = ? la courbe est une cycloïde et le calcul qui
précède est celui de la brachistochrone.
Cherchons ce que devient Téquation aux limites quand les deux points Pq et Pt répondant à x% et or, ne sont pas fixes, mais assujettis à rester sur deux courbes données C^ et Cl. Les variations des points extrêmes étant indépendantes Tune de l'autre , on a d'abord
A,, = o, ou
c'est-à-dire que la tangente à la courbe au point P est per^ pendiculaire à la tangente au même point de la courbe C| . On a aussi
D'ailleurs, pour tous les points de la courbe,
388 CALCUL iwtégkal»
d'où Ton tire
L'équation (3) devient alors
H- (x — ^o)"-^ I ^Zo==0.
Dans les multiplicateurs de djo et Sz^ on peut remplacer l'indice x^ par Tindice Xi, car on a, pour tous les points de la courbe,
/ ^ dx , . dz
\x — jTo )" -7- = const. , \x — .r, )" — - = const. ds ds
L'équation (4) ainsi modifiée prouve que la tangente à la co irbe cherchée au point Pi est perpendiculaire à la tangente au point P^ considérée comme appartenant à la courbe C^.
L'intégration des équations (i) introduira quatre constantes, et il y aura en outre à déterminer les six coordonnées des points P^ et Pi. Il est facile de voir, d'après la méthode générale, qu'on obtiendra en tout dix équations pour calculer ces valeurs.
Les (tourbes renfermées dans l'équation (2) s'obtiennent en faisant rouler sur l'axe des j>^ les courbes dont l'équation est
/-•COS/werrrr^ (n° 626).
628. Si l'on suppose la génératrice du cylindre parallèle à Taxe des z^ la surface a pour équation
La condition du minimum nous donne, en supposant les limites constantes,
D'ailleurs la relation
dx dy -^ '
déduite de (i)^ permet de réduire à deux les variations sous le signe. Il en résulte alors les deux équations suivantes :
dz
dont la dernière est une conséquence des relations (i) et (3).
L'équation ( 3 ) apprend que pour toutes les surfaces cylindriques la tangente à la ligne minimum fait un angle constant avec la génératrice. Ce résultat était facile à pré* voir.
Si le cylindre est droit, la courbe a pour équations
c'est une hélice.
629« Il s'agit de rendre maximum l'intégrale
ajrds).
On trouve, en faisant varier seulement l'abscisse,
dx ,
et par suite
Cette équation n*est pas integrable en général, mais on peut toujours obtenir s en fonction de y. On a en effet
__ ayilr ay dy
ce qui s'intègre sous forme finie.
Si b = o^ la courbe est un cercle.
630. La théorie des maxima et minima relatifs donne Téquation
Sr l'on fait seulement varier Tabscisse, il en résulte l'équation différentielle
as ou
dx
(X-^ay-hub—^zC,
as
ou bien encore et par suite
C'est l'équation de la courbe élastique (n® 571). C'est aussi celle de la courbe que décrit le foyer d'une ellipse ou d'une hyperbole dont le grand axe est abj et qui roule sans glisser sur l'axe des x {n? 686).
SOLUTIONS. Soi
631. La question revient à trouver la fonction de x qui rend minimum le produit
' (i-f./>«)^/.rX / ydx.
Or, si Ton cherche en général à déterminer une fonction jtelle que le produit UV soit maximum ou minimum, U et V désignant deux intégrales définies quelconques prises entre les mêmes limites, on est conduit à la relation
Les multiplicateurs des variations sont ici des constantes qu'on pourra calculer dès que la fonction sera connue.
Dans le problème proposé , Téquation à laquelle il faut satisfaire est la suivante :
A et B représentant les valeurs constantes que prennent respectivement les deux facteurs du produit (i) pour la valeur cherchée de y.
L'équation ( a) peut s'écrire
il en résulte Féquation différentielle
cdx — d z=. o,
et par suite
Il est manifeste que l'arc de cercle qui répond à la question doit tourner sa convexité vers Taxe des x.
3g:à CALCUL INTÉGKAL.
Les constantes A et B, dont le rapport est le rayon même du cercle, se déterminent au moyen des intégrales dont elles expriment les valeurs.
