y variant seul, on a

Afin de faire apparaître sous le signe la différentielle de $s^ on pose

il eni l'ésulte

et en ayant égard aux limites, qui sont supposées constanles,

j 's^-'dxSs = — j 'fLd$s=: j 'Ssdfn-^y L'équation de la courbe est donc

d'où

et par suite

ds

nd^ -hdR^=zOi ds ds

dr dr*

-i- -h -T- ^"~*fl^x = o.

^ ^ ds ds^

Soit fait — = M, Téquation (i) devient

a du J. -f- ^«-1 ds=zO^

et enfin

- nads

dy"=L

[rt'a»-4-(f"-+-c)»]'

Pour ra = I, OQ trouve la chainette.

633* Le dénominateur de l'expression proposée ne devant pas changer avec la nature de la courbe, il suffit de poser

Cette équation devient, en ne faisant pas varier x,

dsis -f- xtfd$s) == o.

Afin de faire apparaître partout sous le signe la difléreutielle de ds^ on pose

i xff'dsz=zB.\

d'où

I x<f'dsSs=zB.Ss ^ l B.d$s^

et en ayant égard aux limites, qtii sont constantes,

f x^'dsSs = ^ j Hd^s.

On trouve alors pour l'équation de la courbe

d'où Ton tire

a a -r— — — -- o£U7 = o; ds ds* '

394 CA.LCUL INTÉGRAL.

et par suite (u° 632)

ads

df =

en posant

Si cf = I , on trouve la chaînette.

Le cas général est celui où Ton cherche, parmi toutes les courbes de longueur donnée, celle dont le centre de gravité est le plus bas, en supposant que la densité soit en chaque point fonction de l'arc qui y aboutit.