Étant donnée l'équation

-hGV = o,

dans laquelle V, K et G sont des fonctions de x, K restant

dY constamment positif, démontrer que V et -7— ne peuvent

s'annuler pour la même valeur assignée à x. (Sturm.) 648. Si Ton connaît une intégrale première de Téquation

on peut toujours obtenir son intégrale générale au moyen des quadratures. (Jacobi.)

649« Soit l'expression (A) DV H- A.D^-'j + . . . -h Aaiy'-Pr -4- . . . -f- A^ =/(7)f

OÙ Al, At, . . . , Ap, . . . représentent des fonctions de la variable Xy et où Ton a fait, pour abréger.

dxP

==ivr;

si l'on désigne par u et (^ deux fonctions de la même variable, on trouve

quelle est la loi de formation des quantités ^''|/(^';?

650. L'expression ^''^/{j) étant dite la conjuguée p'''"' àef{y) (il** 6 W\ on a les théorèmes :

I ° Si la fonction j^j annule identiquement f(j) et ses p — I premières conjuguées, l'équation diflerentielle

admet les solutions

(i) cyu Cxxyu c,a7«^i,..., Cp-^xP-'^yi,

c, C|, C2, ... , Cp^\ désignant des constantes arbitraires. 2"* Si les /> soluûons (2) satisfont à l'équation (i), l'équation

est satisfaite également par les p — h premières solutions (2).

3° Si les équations

ont une solution commune cj"i, et si la seconde est satisfaite

en outre par les solutions

la preinîère lest aussi, et elle admet de plus la solution

651 • Soit j^i une solution de Téquation linéaire

I>J H- A.j = o ; si Ton déduit de cette équation la suivante :

dans laquelle on a

A^^i ^z AiAp -4- -A^

A^ désignant --^j cette nouvelle équation est satisfaite par les n intégrales

Cft , Ci,vj\ , . . . , c,.., or"-*/, . (Brassinne. )