Trouver une courbe semblable à sa développée
674. Trouver la courbe dans laquelle une puissance donnée de l'abscisse est proportionnelle à l'arc.
675. L'origine des coordonnées, auxquelles est rapportée la courbe C donnée par l'équation
r" cos 71 ô = fl",
étant un point qui fait parlîe de C, on demande quel est le lieu que ce point décrit quand la courbe roule sans glisser sur une droite fixe.
676. Trouver les lignes asymptotiques de la surface représentée par l'équation
677. Trouver la courbe qui rencontre les génératrices d'un cône droit sous un angle constant.
678. Par le centre O d'un ellipsoïde on mène un plan quelconque et une normale à ce plan, puis on porte sur cette normale, et dans le même sens, des longueurs OA, OB égales aux demi-axes de la section obtenue \ trouver le lieu des points A et B.
4o6 QUESTIONS DIVERSES.
679. Par le centre O d*un ellipsoïde on fait passer un plan TT contenant la normale d'un point quelconque m (x, j", r), et Ton mène dans ce plan une droite 0/jl égale et perpendiculaire à 0//i 5 démontrer ; 1° que le lieu des points fx est la surface de l'onde (n° 334)^ a** que les normales aux points correspondants m et fi des deux surfaces sont situées dans le même plan et se coupent à angle droit [MaC'Cullagh).
680. Par un point m d'une surface S on mène un plan tangent, et d'un point fixe O on abaisse sur ce plan une perpendiculaire OH. Si Ton prend sur OH un point m^ tel, qu*on ait O/Wj .OH égal à une constante A*, le lieu S, des points m^ est tel, que la perpendiculaire OHj abaissée sur son plan tangent en m^ passe par le point m\ et l'on a aussi
Om OH, = K
681. Étant donnée une surface qui sépare deux milieux homogènes de densité différente, on suppose que des rayons lumineux passent de Tun dans l'autre en suivant les lois ordinaires de la réfraction. Démontrer que, si les rayons incidents sont normaux à une même surface, les rayons réfractés seront aussi normaux à une autre surface.
(Charles Dupin.)
682. Trouver la surface qui coupe à angle droit toutes les sphères passant par un point donné et dont les centres sont sur une droite fixe menée par ce point.
683* Équation générale des surfaces qui coupent à angle droit l'ellipsoïde dont Téquation est
a' b^ c^ 684. Trouver une surface telle que la distance d'un
point  au point où une droite fixe AB rencontre le plan tangent en M soit proportionnelle â la longueur AM.
685. Trouver la surface pour laquelle les coordonnées du point où la normale rencontre le plan des xy sont proportionnelles aux coordonnées correspondantes du point de la surface.
686. Trouver la surface de révolution pour laquelle la somme des courbures principales [courbure moyenne) (n*> 3183 est nulle en chaque point
4o8 QUESTIONS DIVERSES.
635. Désignons par A^ le premier membre de la relation proposée*, on voit facilement que Ai esl nul, quelles que soient les quantités a: et A. Gela posé, la diliërentiation donne
dk
H- (— ï )"-» {x -4- mh)P-^ .
Si Ton fait x — h = z^ le multiplicateur de mp devient
9P-' —["jlz — im — i) hy-' + . . .
Or, pour /? = 2, ce facteur est identiquement nul, pourvu que m soit supérieur k p. A, est donc indépendant de A, et comme il est manifestement égal à zéro en même temps que A, la relation est vérifiée pour p = i. On Tétend sans peine aux valeurs plus grandes.
636. La relation est évidente quand m = i . En désignant le second membre par A,„, les dérivées des deux membres
soLuxiojMS. 4og
par rapport à x sont respectivement
(2) /w(j: -f-a)"-», mA«.i.
Si ces résultats sont égaux pour une certaine valeur de m, les fonctions (a: -h a)"* et A « ne pourront dilFérer que d'une quantité indépendante de x; et comme elles sont égales pour j: = — a (n® 635) ? leur différence devra être nulle. Or les expressions (2) sont égales quand w = 25 la relation (i) se trouve donc vérifiée pour cette valeur, et par suite pour toutes les autres.
La relation (i), qui généralise d'une manière si remarquable le binôme de Newton, a été donnée par Abel dans le tome I®*" du Journal de C relie.
637. En prenant les dérivées partielles des deux membres de Téquation (i), on obtient les formules connues
*^' Ôx Ôf Of ÔJC
Ces relations expriment, comme on sait, les conditions nécessaires et suffisantes pour que, deux fonctions P et Q de JT et j^ étant réelles et continues, P -h Qi représente une fonction de .r -+■ iy et admette une dérivée. On peut remarquer qu'elles expriment aussi que les courbes représentées par les équations
où a et (6 sont des constantes, se coupent à angle droit.
En différentiant les identités (4)^ on en déduit celles-ci, également connues,
Si l'on difiérentie maintenant les équations (4) A — i fois par rapport k x et n — k fois par rapport à y^ on trouve
les formules (a). Les formules (3) se tirent des équations (5) en opérant d*une manière analogue.
Ces relations (2) et (3), dues à Prouhet, l'ont conduit à des résultats algébriques et géométriques intéressants. (Sturm, Cours d'analyse, a* édition.)
La fonction P + Qi admet une représentation assez expressive, duc à MM. Briot et Bouquet. Une valeur quelconque de la variable imaginaire z définissant un point (x, y) dans le plan xOy^ on peut concevoir que sur la pei'pendiculaire à ce plan en chaque point on porte des longueurs respectivement égales à P et Q. Les deux surfaces qui en résultent jouissent de diverses propriétés, conséquences des relations fondamentales (4). Ces relations elles-mêmes expriment que, si Ton fait tourner d'un angle droit Tune des surfaces autour d'une perpendiculaire au plan xOy^ les plans tangents des deux surfaces aux points correspondants situés sur cette perpendiculaire deviennent parallèles. ( Foir Briot et Bououet, Théorie des fond, ellipt,, 2* édition.)
