La première relation résulte de l'égalité manifeste

d^u du

Pour démontrer la seconde, observons qu'en vertu de (A) Texpression /(/7j:-4- 7X1, pj -h qfi, pz-hqzt) admet ; les deux développements identiques

q'»u -hg^-^p^u H 1 ? — ^ a* « H 1 A"tt,

Si n — k=2. /i, l'égalité des coefficients de ^"~* p* donne la relation (a).

SOLUTIONS. 4ll

La troisième s*obtIent en prenant la dérivée par rapport à a, des deux membres de la seconde. On trouve en effet, à cause de la première,

dn^u 1 .2 . . • ^ dui

da I . 2 . . . ( /i — /' ) doii

Or, u étant une fonction homogène du degré n — i , en lui appliquant la formule (s) il vient

. du, . . du

et, par suite,

Les expressions de la forme Ù^Uy u désignant une fonction homogène d'un nombre quelconque de variables indépendantes, ont été nommées par M. Sylvester les émanants d'or rire Âr de la fonction u. Elles jouent un rôle important dans r Algèbre moderne [Voir Salmon, Leçons d^ Algèbre supérieure).

Remarque. — Lorsque la fonction u ne renferme que trois variables indépendantes x^y^ r, on sait qu'en l'égalant à zéro on obtient l'équation en coordonnées homogènes d'une certaine courbe, dont les coordonnées ordinaires sont alors exprimées par les rapports - et - • Dans ce

cas, les émanants de la fonction admettent une interprétation géométrique. Concevons, en effet, sur une même droite, le système des n points

un point m généralement distinct de ceux-ci, et un autre

4ia QUESTIONS DIVERSES.

point nii k déterminer. Si l'on forme les- rapports

//la, mat ma^

dans lesquels on a égard aux signes des segments et qu'on représente par l'expression

^ \ maj k

la somme de tous les produits obtenus en multipliant ces rapports k k k^ l'équation

<« im.=i

ma — m/w,

ma / k

déterminera k valeurs pour la distance m///,. Chacun des points THi qui en résultent est dit un centre harmonique d*ordre k du système des points a par rapport au pôle m.

Cela posé, soit une courbe C de degré n représentée en coordonnées homogènes par l'équation y(X, Y, Z) = o, et supposons qu'autour du pôle /w, pris dans son plan, on fasse tourner une transversale; les points tt?,, centres harmoniques d'ordre k du système des points d'intersection de la courbe avec cette droite dans toutes ses positions, seront situés sur une courbe P qu'on nomme la [n — /•)**«• polaire du point m par rapport à C. C'est précisément l'équation de cette polaire qu'on obtient en égalant à zéro l'émanant d'ordre k de la fonction /(x,^^, z) = u\ x^y^ z représentant les coordonnées du point fixe m et Xi,yi, «i celles du point variable mj.

Pour démontrer qu'il en est ainsi, soit a l'un des points où la transversale mm^^ dans une de ses positions particulières, rencontre la courbe donnée. Les coordonnées homogènes a, 6, y de ce point se déterminent facilement, car les points a, m et m^ appartenant à une même ligne

SOLUTiOMS. 4>3

droite, leurs coordonnées doivent satisfaire à la relation

qui est évidemment satisfaite en posant

quelle que soit la valeur de p. Cette valeur se calcule ici en substituant les expressions de a, 6, y qu'on vient de trouver dans la relation manifeste

(a jr\ I /a J?, \ i y z ) ma \y Zx)ni^a'*

d*où Ton tire

z ma Zx m^a

Si l'on exprime maintenant que le point a est situé sur la courbe, on a

/(a?-4-/?j7„ jr-\-.pxx» z-{-pz,) z:=o,

ce qui peut s'écrire, en vertu de (A),

Cette équation a pour racines les n valeurs de la quantité - répondant à une position déterminée de la transversale. Ed égalant à zéro, en vertu de Téquation (4)9 la

414 QUESTIONS nVEIlSES.

souime des produits A à A: de ces valeurs, on trouve

équation qui est bien celle de la courbe P, puisqu'elle est satisfaite par les coordonnées J^i,/i, ^1 des points mi dans toutes les positions de la transvei sale. A cause de (2), ou peut aussi récrire

Si h est égal à i, on voit que le lieu des centres harmoniques du premier ordre est une ligne droite appelée la droite polaire. Ce théorème a été donné par Cotes.

La théorie des polaires des divers ordres, créée par Bobilier [Ann. de Gergonne, i8a8), a été Tobjet des travaux de plusieurs géomètres ( voir Clebsch, Leçons sur la Géométrie, 1" Vol., p. aSS; traduction Benoist).