Si l'on pose a j: = z, Téquation devient

et en diflérentîant par rapport à Xy

équation linéaire du premier ordre d'où Ton tire

t—ii-

641. Si la fonction cf(a:) n'est pas nulle depuis a: = a jusqu'à x = i, elle doit changer de signe dans cet intervalle, sans quoi, les éléments de l'intégrale étant tous de même signe pour une valeur convenable de /i, l'intégrale ne pourrait être nulle. Supposons donc que cp(a:) change de signe, trois fois par exemple, et soient o^i, x,, x% les valeurs de x qui donnent lieu à ce changement. Soit fait

Puisque l'intégrale est nulle pour toutes les valeurs entières de 72, on a

a Ja

Jf*h r*h

a:y(a:)<£r = o, / y(ar)^ = oj

4l6 QUESTIONS DIVERSES.

et par suite

J a Ja

La dernière équation ne peut exister puisque, ^[x) et ^[x] changeant toujours de signe en même temps, Télément de l'intégrale a toujours même signe. D'ailleurs le raisonnement resterait le même quel que fut le degré de ^ *, donc, etc.

6&>2. On sait que la formule de Wallis ( n° kïA) consiste en ce qu'on a, quand n croit indéfiniment,

,. TT 3.3.5.5. ..(2/ï — l)(2/l — l)(2/Z-hl)

lim î^ — j— — — — '- = I ,

OU bien

(A *-- lin, 3.5.7. . .(2/2— l)(2W-f-lV

\îr/ 2.4.6. . .2/1

Or

A r^ ,-AiA CI 1.3. 5. ..(2/2 — i)

A = / COS^»0 (19 = y-^ i;

Jq 2 2.4. . .272

par conséquent.

lim A

■r TT -. 1.3.5. ..(2/2 l)(2/2-f-l)^ / n

.72= - lim ^ , '^ L

OU

Ua.»^£cos.-0rf9=j(|)'(i)'=Ç

L'équation

TT

conduirait d'une manière analogue à la relation

Jq

lim/ï' / cos"»-»''9«r/3 = — *

643. 1° Pour ramener l'intégrale à une forme connue, il suffit d'un changement de variables. Si l'on pose, en elFet,

ces relations étant du premier degré, l'élément de l'intégrale transformée sera

OÙ a. représente un coefficient rationnel en a], &],.. .. D'ailleurs, les limites restent les mêmes, et comme on a, d'après la formule B de la p. 297,

il en résulte

2^ On a également, en vertu des conditions admises.

/QO /»0O /»Q0

6 étant rationnel par rapport aux quantités aj, £1, . . . . On conclut de là