K= ^TT

(Al A3. . • A^j Frenet. — Recueil, 2'J

4l8 QUESTIOUS DIVEBSES.

et par suite

(A,Aa. . .A«)* = -•

()&4>. Soit

Afin d'avoir des limites indépendantes de A, posons

zh = x;

il vient

Il faut que ;it- soit nul, quel que soit li\ on a donc

Soit fait

ly'(x)4..rf(:i:)=F(x),

il en résulte

— =/ rfz(A-zA) 'F(zA)= / — L-^

Pour que Tîntégrale soit nulle, quel que soit A, il faut que F(j:) soit nul identiquement-, car si F(a:) n'est pas nul, on peut prendre h assez petit pour que F(a:) garde le

même signe dans toute Té tendue de Tîntëgrale, et comme le facteur p est toujours positif, l'intégrale ayant tous

ses éléments de même signe ne peut pas être nulle. Donc On tire de là

équation différentielle de la cycloïde.

Le problème que nous venons de résoudre n'est autre que celui de la tautochrone dans le vide.

(PciSEUX.)

G45« E^n raisonnant comme dans le numéro qui précède,

on trouve

646. Multiplions l'équation (i) par le facteur zrfj:^ x étanl une indéterminée, et intégrons par parties de manière à dé-

barrasser^ de tout signe de dilTérentiation sous le signe/.

(In-ky

Un terme tel que /;* ^^ donnera naissance à l'intégrale

le signe 4- répondant à /i — k pair et le signe — k n — k impair. Ainsi le résultat de l'intégration se composera

d'une partie débarrassée du signe i et de l'intégrale

r [d-z d^Hp.z) , d--'{p,z) . " "1 ,

J -^ \djc" djc^'^^ djc')'^ \

Si z satisfait à Téquation (2), Tîntégrale s'évanouit*, Téquation (i) devient donc intégrable quand on la multiplie par une solution de Téquation (2).

L'autre partie de la proposition se voit facilement de la même manière.