Supposons que V ne soit pas nulle pour x=^a
Comme l'équation différentielle proposée est du second
ordre, on peut concevoir une fonction Vi qui y satisfasse
et qui diiïère de V en ce qu'on en tire, pour a: = a, des va-
d\ leurs arbitraires de V* et de —r-^ différentes de celles de V
dx
et de -r- • dx
On a donc
-+-GV = o, — ^^- ^-f-GVt = o;
dx dx
d'où résulte, en multipliant la première par Yidx et la seconde par \ dx et retranchant.
par conséquent,
K ( V, ^ — V ^ ) = const.
€ix dx
On suppose que V n'est pas nulle pour x = a^ et Ton peut
se donner à volonté, pour a: = a, des valeurs de Vi et -jtelles, que l'expression
/ dW dVA
\ . dx dx /
ait pour X = a une valeur différente de zéro, quî sera celle de la constante. On voil alors que, pour toute autre valeur de x^ on ne peut avoir en même temps
puisqu'il s'ensuivrait const. = o, ce qui est contre Thypotlièse.
Il suit de ce qui précède que la fonction V change de signe chaque fois qu'elle s'évanouit. On le fait voir absolument comme dans la démonstration du théorème de Sturm.
648 • Soit
dr
l'intégrale première connue renfermant la constante arbitraire a. On trouve, en différentiant,
et, par suite.
da:^ df dx*
Différentions par rapport à a cette nouvelle équation, elle donne
ou bien
o = -^ « -4- ^ ^-? + Jll^, ôadjr^ df da àaôx^
K^') ^fê)
ôf àx
ce qui est la condition pour que l'expression
-z-djr — — ffdx
soit une dillérentielle exacte. On a donc pour l'intégrale générale
df9
^i(dx-r'-) = c.
(Journal de Liouinlle, t. XIV.) 6W. En appliquant la formule de Leîbnîtz (n° 62)
I>"(ttp) = ttfC") -i- i) ttVl"-') -4- . . .
et prenant /*(i') sous la forme
on reconnaît que ^^^f{i^) s'obtient en formant la dérivée d'ordre p def{u)^ pourvu qu'on y considère les indices de dérivation comme des exposants et qu'on y suppose la fonction ^ affectée de l'indice de différentiation o. Dans cette opération 5j^mio//^we, les coefficients Aj, A|,..., A^ jouent le rôle de constantes. On trouve de cette manière
'/(u) = 7li.(«-0 + ( « ^- l) A. l'C—») -»- . . . -f- An^t «', •••»
(«-«y^,.) =zn{n — i). . ,2v' -h (« — i). .2.1 A, i', ^"V^l**) =n(n — i). . .2.I.P.
La même loi de formation permet évidemment de développer y(Mt^), "f[u{f)^...y ^P\f [uvf)^.,.^ etc. M. Brassinne a désigné l'expression ^^^f{v) sous le nom de conjuguée d'ordre p ou de conjuguée p»*'»» de l'expression y (i^). Observons que si l'on pose
D» H- A, D»-» + . . . -t- A^ D"-/» -l-...H-A„=î(D), on peut écrire symboliquement
et il est facile de reconnaître qu'on a, pour toute valeur entière et positive de p^
(i')/(jr) = T<^)(D).j.
Cette nouvelle forme de la conjuguée p'**"* de y(i') est remarquable. Elle permet de remplacer la relation (B) par celle-ci, analogue à la série de Taylor pour le cas des fonctions entières :
f(D).«i' = «<p(D).«'-*-Dttç'(D).p -*-...
On développerait évidemment de la même manière la conjuguée d'ordre quelconque
6o0« 1® Si l'on pose v=iji dans l'équation (B) du numéro précédent, elle devient
X)Pu
/{uy,) = (PY(j,) —- -h. . .-hr.D-«,
et Ton voit que le second membre s'annule si l'on assigne à u l'une quelconque des valeurs
il en résulte que l'équation linéaire
admet les solutions
2** Soit fait u^=^ X dans la même équation (B), elle se réduit à
424 QUESTIOlîS DIVERSES.
En y substituant à i^ les valeurs j^i, xj^i^ . . . , x^'^ji^ on voît que ces valeurs annulent (/"(i^), d*où il suit que l'équation linéaire
admet les p — i premières solutions (2). Il suit de là que Téquation
admet les p — 2 premières solutions (2), et ainsi de suite. 3° D'après l'hypothèse, on doit avoir
d*où Ton tire, en vertu de Téquation ( B),
Or, pour toute puissance entière et positive de x inférieure à n^ mise à la place de m, on a f(uj\) = o, c'est-«vdire que l'équation f[j) = o admet les solutions (3), et de plus la solution c„.i a:"~*j"i .
Si l'on assimile les solutions (2) aux racines égales des équations algébriques, les propositions de ce numéro établissent, entre ces équations et les équations différentielles linéaires, des analogies remarquables signalées par M. Brassinne, auquel on doit d'intéressantes recherches sur ce sujet. (Sti]bm, Cours d' Analyse, Note III de la deuxième édition.)
651. On reconnaît d*abord que l'équation (1) admet la solution j^i, pour zi = 2, Afin de prouver qu'il en est de même, dans tous les cas, ilie l'identité
supposée vraie pour tz, on tire en différen liant
Multipliant par A| les deux termes de l'équation (2) et rajoutant membre à membre à l'équation (3), on obtient une nouvelle égalité dans laquelle le multiplicateur de lypj est égal à
quantité qui se réduit à
p-hi '^"^'^
en vertu des notations adoptées. Il en résulte que l'identité (2) subsiste quand on y remplace n par /iH-i, c'està-dire que Téquation
admet la solutionnai, quel que soit n.
Pour compléter la démonstration du théorème, il faut prouver que si l'équation (i) admet les solutions
l'équation
les admettra aussi et sera satisfaite en outre par la solution CnOc'^ji, Il suflSt pour cela de chercher la conjuguée
'?"+» (y) y qu'on trouve égale à 7ia>„ (j ), et de se reportera la solution du n° 650 (3^).
On arrive au même résultat en prouvant généralement que, si z désigne une solution quelconque de l'équation (i), Téquatiou (4) est satisfaite par la solution zx. Le premier membre de cette équation peut en effet s'écrire
ir/
kp !>•-»-• -Pf,
d'où résulte, en y remplaçante^ par zx^
quantité qui est nulle, puisque z satisfait à l'équation (i) et par suite à l'équation (4). On conclut de là que l'équation (f^[y) = o admet les solutions cj^ et CiXji'^ puis que Téquation <fz[j) =0 admet les solutions c/i, c^xj\^ CtX^ji^ et ainsi de suite.
