Posons On tire de cette érjuation

43o QUESTIONS DIVERSES»

d'où, en tenant compte de Téquation (2] du numéro précédent,

puisque y s'annule avec x.

Ou a donc

Pour déterminer la constante C, observons que lorsque une fonction <f (x) est donnée par la série de Fourier sous la forme

y(j!r) = h A| COSX -+-••• -4- A«cos/ix -+••••»

on a généralement

- / 9(0?) cosnxdx.

Cette expression, appliquée ici au premier terme de la série (i), conduit à la formule

,aie A— aie

On déduit immédiatement de là les relations suivantes trouvées par Euler :

OQ V' I TTÛ — I te

TT

-H (2/1 -4- 1)* ^a 2rt(c**-i-i)

' 657. Appliquant à la fonction /"(j:,^) la formule du n" 123 et faisant usage des notations du n** 100, il vient

O fs fy

fr Jj* fjj

On tire aussi de la formule du n® ICO

H = l^::;il'

F/» ^yx

et ces résultats, combinés avec ré(|uatîon évidente

vérifient immédiatement le lliéorème.

L'équation H = o, à laquelle satisfont les coordonnées des points d'inflexion de C, représente une autre courbe nommée la H es sienne de la première, et dont la considération est utile dans la théorie des courbes algébriques. Comme le degré de cette courbe est au plus égal à 3(72 — 2), il en résulte que le nombre des points d'inflexion de C ne surpasse pas Zn{^n — 2).

658. L'équation "de la courbe en coordonnées homogènes (n** 638) se met sous la forme

et celle de la première polaire par rapport à un point dont les coordonnées sont «, 6, y est

du - du du

djc djr dz

il en résulte, en remplaçante et 7 par Tunité après la différentiation,

a[(;c'-h^')(j7 4- «) -H 2«x*] -f- 6 j ( x' -f- jr* + 5<"^ — ^^'

Si le point fixe est à Torigine, cette équation représente une cissoïde. Elle donne une sirophoïde [voir Briot et Bouquet, Géom, analyt., 7® édit., p. 16) si Ton a

6=0, 2«=:rt.

43a QUESTIONS DIVERSES.