On trouve le foUum de Descartes (n

6t>0. La droite polaire du point m (a, 6, y) relativement à la courbe [Remarque du n° 638) a pour équation

djc* ojr^ oz* ' ojdz ' Oxàz àxày

ou, plus simplement, (i) Aa»4- BÇ'-H Cy»-*- aDSy 4- aEya -h 2Fa§= o =y,

A, B, C, I . • étant linéaires en x, /, z et les quantités a, 6, y satisfaisant à la relation

(2) /la -4- ^6 -»- C7 =: o.

Quand le point m décrit la droite L, on peut considérer les coordonnées «^ 6, y comme des fonctions d'une même variable t. Pour obtenir l'enveloppe de la droite représentée par l'équation (i), on est donc conduit à différentier (i) et (2) par rapport à f, ce qui donne

-T-dQL-\- -^dZ-^f TT- ^7 = o, ad% 4- bd^ -H c J7 = o, da do ^7

et, par suite,

^ ' a doi b d^ c dy^

ces dernières équations se réduisant à une seule à cause de

09 ^ dv d<p

^ Ôa 0^ ây

Si Ton égale chacun des rapports (3) à 2ji, on obtient l'enveloppe cherchée en éliminant a, 6, y et fi entre les

équations

Aa 4-Fe4- Ey = iia^

Fa -hJi^-hDy=ziib, E«4-Dg-*- Cy=z lie, aoL -{- b^ -\- cy ■=. o.

BOLVTlOJXSi

Le résultat se met sous la forme

et représente, comme on voit, une courbe du second degré dont M. Cayley s*est occupé le premier et que M. Cremona a nommée la poloconîque de la droite L.

La proposition qu'on vient de démontrer est d'ailleurs un cas très- particulier de celle-ci, due à M. Cremona {^Introduzione ad una Teoria gfiometrica délie cuive piane, p. ii4) •

Quand un point parcourt une courbe d'ordre m, les dioites polaires de ce points relativement à une courbe du jjiime orJ^fc^ eni^eloppent une courbe de la classe m (^n — i ). On sait que la classe d'une courbe est le nombre des tangentes (réelles ou imaginaires) qu'on peut lui mener d'un point pris dans son plan.