L'équation à laquelle on parvient peut s'écrire

(a} — \]ydY -^ n^xdx , , == ± d.r^

d'où

663. En différentiant l'égalité qui exprime la condition donnée, on trouve l'équation homogène

( A'* -^- y'^^dx •= Zxydf^ dont l'intégrale est

66&'. Posons

(x»-hr'r~«'(^'-r')==F(^,r),

d'où

\iix f X 3 /' — j:'

Vï ]

l'équation différentielle est donc, d'après la théorie des trajectoires orthogonales,

dy X ( Zy^ — ar' )

"■^;z;7(37'~ir7)='^*

SOLVTIOJNS. à(di5

Cette équation homogène donne par l'intégration

équation d*une lemniscate semblable aux proposées et dont Taxe est incliné de 4^ degrés sur celui de ces courbes.

Le problème des trajectoires orthogonales a beaucoup occupé les géomètres. Jacques et Jean BernouUi en avaient déjà traité des cas particuliers lorsque Leibnitz, en 1 715, le proposa comme défi, « pour tâter un peu le pouls à nos analystes anglais », disait-il dans une lettre à Tabbé Conti. Le gant fut relevé par Newton, qui résolut la question sur-lechamp dès qu'il en eut connaissance; Taylor le suivit avec succès dans la lutte. On doit à Euler de nombreux et importants travaux sur ce problème des trajectoires.