Soient
l'équation de l'une des paraboles, h* la surface constante; on a
Les relations (i) et (2) font connaître les coordonnées de l'extrémité de l'arc à laquelle s'arrête l'intégrale, et l'équation
qui en résulte par l'élimination de a, est celle du lieu demandé.
667» Soient b la longueur donnée, jr * -4- jj • = a' l'équation de l'un des cercles, x^^ji les coordonnées d'un point
du lieu^ on a
/•^ ady . Xa
b=: I = a arc sm — )
__ rJ" adr __
et
De là résulte Téquation de la spirale hyperbolique arc tang — = ;- » ou rô z= b.
Cette dernière équation aurait pu s'obtenir tout de suite, car on a, pour les coordonnées polaires d'un point du lieu,
T zzzUy 0 =r — •
C68. Soit
Téquation de l'ellipse rapportée à son centre et à ses axes. Celle de la normale au point {x^y) est
en posant
On en déduit, pour la distance p du centre à la normale,
d'où
(i) e*x^ — [à^e^-^- p^)e'x'^ -hrt'/?' = o.
Les racines de cette équation sont réelles, si Ton a
Cette condition remplie, Téquation (i) donne deux racines pour x*. Désignant Tune d'elles par x*, l'autre par Ç*, on a
et, par suite, la relation demandée
Les deux points ainsi déterminés sont des points associés, La relation (3) peut s'écrire
(a'— a?») (a* — Ç») = (i — <?»).r»ÇS
ce qui montre que, si Tun des points parcourt le quart de Tellipse en allant de l'extrémité du petit axe à celle du grand, l'autre parcourt le même arc en sens inverse.
669. Si Ton désigne par a; et ^ les abscisses des points associés m et (ix, on a les formules (n° 668)
Soient s= B/ra Tare d'ellipse qui part du sommet B du petit axe et qui aboutit au point variable m\ 7 = Aiix celui qui part du sommet A du grand axe et qui aboutit au point associé II \ l'équation de l'ellipse fournit les deux suivantes :
438 QVESTIOmS DIVERSES.
D*ailleurs, on tire de rëquation (2)
donc
a dx a
et par suite
, , adr. ad^
as — UQ =1 1 •
D'un autre côté, les équations (i) donnent par la diflerentiation
dr d\ pdp dp
d'où
ds — dv =1 dp.
On en conclut (3) *i — j — (<r, — a) =/?,—/>,
où l'on a
La relation (3) est précisément celle qu'il fallait démontrer.
Si l'on y fait x = o, elle donne
B/7Ï, = AfAi;
la proposition qu'exprime cette égalité est connue sous le
nom de théorème de Fagnano.
(Le Besgue.)
