On trouve
dj:z=dx\c^y' " — i^ ,
équation toujours întégrable si n est entier. Pour » = 2, on a une cycloïde \ pour n = i , un cercle. Lorsqu'on suppose n = — I , Téquation devient
- dr ady ar= "- =r
d'où l'on tire
La courbe est donc une cliaineite.
44o QCJESTiOKS DIVERSES.
672. Prenons le point A pour pôle; le rayon de courbure en un point quelconque a pour expression, au moyen des coordonnées polaires [formule (c), p. 178],
dr
en posant
dr
La condition du problème revient d'ailleurs à dire que la projection du rayon de courbure sur le rayon vecteur est à ce rayon vecteur dans un rapport constant. Il en résulte Téquation
* qui peut s'écrire
p(rdpj^pdr) ^ r ^ ^ ^^^
Elle devient
nu du dr
en faisant
par suite,
et enfin
r*'=6'(i-f-tt*),
Cette dernière formule intégrée (n** 411) donne
r«cosa(0 — «) = 6 (n» 626).
SOLUTIONS. 44 ï
673- Ce problème se résout simplement en définissant la courbe, d'après Euler, par une équation entre le rayon de courbure p et l'angle cp que fait ce rayon avec une direction constante. Soit donc
l'équation de la courbe, cf étant Tangle du rayon de courbure avec une droite donnée. Pour fixer les idées, nous supposerons que cette droite est l'axe des x. On voit sans peine
qu'on a
iis = p dfpf
et comme
djr
- = tang^
dx^dsii-h-^
dx
-j =pC0S«J)</9,
Ces deux dernières équations feront connaître x et j^ en fonction de cy. D'ailleurs , si jOj et cfi sont les coordonnées du point de la développée correspondant au point qui a p et (f pour coordonnées, on a
d'où
et comme l'élément de la développée est égal à ^p, on a
aussi
dp = p, dfi = p, d<f.
Si la développée est semblable à la courbe^ n étant le rapport de similitude,
pi = /2p,
et par suite
dp
-^ =z n d(D, p = A tf"^.
Sî Ton porte cette valeur de p dans celles de dx et de dj^ on obtient les équations intégrales
a: — a=z (sin© -f- ncosi»),
Y — b= (n sin© — cosv),
en appelant a et & deux constantes arbitraires. Faisons
^ tangO, - = tang»,
il viendra
Ar"î
Y =Asin»e'"»*,
sin» — cosçtanffw , .
tang8= -T— 4 ^- = tang(y — «);
^ smytanjo) -I- cosy
et par conséquent
Cette dernière équation est celle d'une spirale logarithmique dans laquelle le rayon vecteur fait avec la tangente Tanglc w.
